Questão 4: Para um pêndulo simples de comprimento L=1,0 m e massa m=50 g
a) Obtenha o valor aproximado do período do pêndulo para \theta=20^{\circ} e explique o resultado. Obs: considere g=(9,78 \pm 0,001) m / s^{2} e até a segunda ordem na expansão em série de potências.
b) A equação que descreve o movimento do pêndulo simples é dada por
é a função elíptica de Legendre do primeiro tipo.
c) Explique qualitativamente como o resultado acima se reduz ao resultado
T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
no limite de pequenas oscilações \theta \leq 10^{\circ}.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado fornece e o que pede, explicitando cada dado e cada pergunta.
Dados numéricos fornecidos:
Comprimento do pêndulo: L=1{,}0\\ \text{m}.
Massa: m=50\\ \text{g} (não entra no período do pêndulo simples sem amortecimento; apenas anotado).
Aceleração da gravidade: g=(9{,}78\pm0{,}001)\\ \text{m/s}^2.
Ângulo de amplitude para (a): \theta_0=20^\circ.
Equação do movimento dada (para todo o enunciado):\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{L}\sin\theta=0.
Perguntas:
a) Obter o valor aproximado do período para \theta_0=20^\circ, usando expansão em série até a segunda ordem (interpreto como incluir o termo de ordem \theta_0^2 na correção ao período). Também explicar o resultado (o que esta correção significa).
b) Partindo da equação do movimento, mostrar a forma integral do período
Logo o termo entre colchetes é constante no tempo (energia total por unidade de massa angular).
Determine a constante usando a condição de amplitude: no instante em que \theta=\theta_0 a velocidade angular é zero, isto é \dfrac{d\theta}{dt}=0. Substituindo:
\frac{1}{2}\cdot 0^2 - \frac{g}{L}\cos\theta_0 = C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{g}{L}\cos\theta_0.
O período completo é o tempo necessário para a massa ir de \theta_0 até -\theta_0 e voltar, mas por simetria pode-se escrever T como quatro vezes o tempo que leva para ir de \theta_0 a 0 (ou quatro vezes o tempo de 0 a \theta_0). Assim
onde \varphi será a nova variável de integração. Essa escolha faz com que quando \theta=0 temos \varphi=0 e quando \theta=\theta_0 temos \sin(\theta_0/2)=k dando \varphi=\pi/2.
Diferenciando, \dfrac{1}{2}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta = k\cos\varphi\,d\varphi, então
o que, com a substituição \sin(\theta/2)=k\sin\varphi e k=\sin(\theta_0/2), leva (após simplificações algébricas) a uma expressão proporcional a \cos^2(\theta/2)\bigl(1-k^2\sin^2\varphi\bigr). Inserindo tudo na integral e simplificando o fator \cos(\theta/2) que aparece em d\theta, obtemos a forma padrão do integral elíptico.
O resultado final, após essa substituição e simplificação, é
com k=\sin\frac{\theta_0}{2}. Isso coincide com a forma pedida no enunciado (a integral de \varphi é a função elíptica de Legendre do 1º tipo). Assim provamos a equivalência.
Passo 5
Agora vamos desenvolver a expansão em série do período para pequenas amplitudes até a segunda ordem em \theta_0 (ou seja, incluindo o termo proporcional a \theta_0^2) — isto responde (a) pedindo a aproximação do período para \theta_0=20^\circ.
Para k pequeno (o que corresponde a \theta_0 pequeno, pois k\approx\theta_0/2 quando \theta_0 em radianos é pequeno) podemos expandir o integrando em série de potências em k^2 (binomial):
Esta é a expansão até ordem \theta_0^2. Note que o termo principal 2\pi\sqrt{L/g} é o período no limite harmônico (pequena amplitude), e o termo \dfrac{\theta_0^{2}}{16} é a correção relativa que aumenta o período quando a amplitude cresce.
Passo 6
Agora aplico isso numericamente para \theta_0=20^\circ. Devemos:
Então \delta T \approx 2{,}024\times 5{,}11\times 10^{-5}\approx 1{,}0\times 10^{-4}\\ \text{s}.
Portanto o período com incerteza fica T\approx 2{,}024\pm0{,}0001\\ \text{s}.
Interpretação do resultado (explicação pedida em (a)): o período aumenta ligeiramente com a amplitude devido à não linearidade de \sin\theta. Para \theta_0=20^\circ o aumento é pequeno: cerca de 0{,}76\% mais longo que o período harmônico T_0. Isso mostra que a aproximação de pequena amplitude (onde se toma \sin\theta\approx\theta) é bastante boa até amplitudes moderadas, mas já existe um pequeno efeito mensurável aos 20^\circ.
Passo 7
Explicação qualitativa do item (c): por que a expressão completa reduz para T=2\pi\sqrt{L/g} quando as oscilações são pequenas.
Para pequenas oscilações em radianos \theta é pequeno e tem-se \sin\theta\approx\theta (expansão em série \sin\theta=\theta-\theta^3/6+\cdots). Substituindo \sin\theta\approx\theta na equação do movimento
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{L}\theta=0
obtém-se uma equação linear de oscilador harmônico simples com frequência angular \omega=\sqrt{g/L} e período
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Na forma elíptica, para pequenas amplitudes k=\sin(\theta_0/2) é pequeno, e a função elíptica K(k) tende para \pi/2 quando k\to 0. Assim
Em termos práticos, para \theta_0\le 10^\circ a correção \theta_0^2/16 já é muito pequena: 10^\circ em radianos é \approx 0{,}1745 rad, então \theta_0^2/16\approx 0{,}0038, ou seja correção de 0{,}38\%. Por isso a fórmula harmônica é normalmente usada para pequenos ângulos.
Resposta
(a) T\approx 2{,}024\pm 0{,}0001\\ \text{s} (para \theta_0=20^\circ, incluindo correção até ordem \theta_0^2; aumento relativo \approx0{,}76\% em relação a T_0).
(b) \displaystyle T=4\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_{0}^{\theta_{0}}\frac{1}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_{0}}}\,d\theta\quad\text{e}\quad
T=4\sqrt{\frac{L}{g}}\,F\!\left(\sin\frac{\theta_{0}}{2},\frac{\pi}{2}\right).
(c) No limite de pequenas oscilações (\theta_0\to 0) tem-se F(k,\pi/2)\to \pi/2 com k=\sin(\theta_0/2), de modo que T\to 2\pi\sqrt{L/g}.