Um gás ideal sofre uma expansão livre passando de um volume
para um volume
. Determine a variação de entropia nesse processo.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Um gás ideal sofre uma expansão livre (expansão para o vácuo) em que o volume inicial é
e o volume final é . - Pergunta: determinar a variação de entropia
desse processo.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usarei depois:
- Tipo de processo: expansão livre (expansão contra vácuo).
- Volume inicial:
. - Volume final:
.
Passo 2
Entender fisicamente o que acontece na expansão livre e quais quantidades se conservam (sem ainda calcular a entropia).
Expansão livre significa que o gás expande-se para um espaço em vácuo; não há troca de calor com o ambiente e não há trabalho realizado contra uma pressão externa, portanto:
Usando a primeira lei da termodinâmica (no sinal convencional onde
):
Para um gás ideal, a energia interna
depende somente da temperatura
. Logo
implica que a temperatura permanece constante:
(Aqui:
é calor trocado,
é trabalho realizado pelo gás,
é energia interna.)
Passo 3
Relembrar o conceito de entropia útil para resolver o problema.
Definição prática que vamos usar: a variação de entropia entre dois estados é uma função de estado e pode ser calculada integrando o calor reversível dividido pela temperatura ao longo de qualquer caminho reversível que conecte os dois estados:
Importante: entropia é função de estado — o valor de
depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho real seguido. Mesmo que o processo observado seja irreversível (como a expansão livre), podemos escolher um caminho reversível conveniente (por exemplo, uma expansão isotérmica reversível) entre os mesmos estados e calcular
por esse caminho.
(Na fórmula,
é o calor trocado em um processo reversível infinitesimal e
é a temperatura em cada ponto do caminho reversível.)
Passo 4
Escolher um caminho reversível conveniente entre os mesmos estados: como vimos em
Passo 5
Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o trabalho reversível diferencial é
onde, pela equação de estado do gás ideal,
. Como em processo isotérmico para gás ideal a variação de energia interna é zero, o calor reversível diferencial satisfaz
Aqui:
é o número de mols do gás e
é a constante universal dos gases.
Passo 6
Calcular a variação de entropia integrando
ao longo da expansão isotérmica reversível escolhida.
Usando
e dividindo por
:
Integrando de
até
:
Portanto,
Passo 7
Interpretação física e verificação de consistência:
- O resultado
é positivo, o que faz sentido: a expansão livre é irreversível e aumenta a entropia do gás (e, sendo o processo isolado, aumenta a entropia total do universo). - Observação numérica útil: por mol (
) tem-se por mol.