Um gás ideal sofre uma expansão livre passando de um volume V_{0} para um volume 2 V_{0}. Determine a variação de entropia nesse processo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Um gás ideal sofre uma expansão livre (expansão para o vácuo) em que o volume inicial é \,V_0\, e o volume final é \,2V_0\,.
  • Pergunta: determinar a variação de entropia \,\Delta S\, desse processo.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usarei depois:
  • Tipo de processo: expansão livre (expansão contra vácuo).
  • Volume inicial: \,V_i=V_0\,.
  • Volume final: \,V_f=2V_0\,.

Passo 2

Entender fisicamente o que acontece na expansão livre e quais quantidades se conservam (sem ainda calcular a entropia).
Expansão livre significa que o gás expande-se para um espaço em vácuo; não há troca de calor com o ambiente e não há trabalho realizado contra uma pressão externa, portanto:
Q=0,\qquad W=0.
Usando a primeira lei da termodinâmica (no sinal convencional onde \Delta U=Q-W):
\Delta U = Q - W = 0 - 0 = 0.
Para um gás ideal, a energia interna \,U\, depende somente da temperatura \,T. Logo \Delta U=0 implica que a temperatura permanece constante:
T_i = T_f.
(Aqui: \,Q\, é calor trocado, \,W\, é trabalho realizado pelo gás, \,U\, é energia interna.)

Passo 3

Relembrar o conceito de entropia útil para resolver o problema.
Definição prática que vamos usar: a variação de entropia entre dois estados é uma função de estado e pode ser calculada integrando o calor reversível dividido pela temperatura ao longo de qualquer caminho reversível que conecte os dois estados:
\Delta S = \int_{\text{estado inicial}}^{\text{estado final}} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Importante: entropia é função de estado — o valor de \Delta S depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho real seguido. Mesmo que o processo observado seja irreversível (como a expansão livre), podemos escolher um caminho reversível conveniente (por exemplo, uma expansão isotérmica reversível) entre os mesmos estados e calcular \Delta S por esse caminho.
(Na fórmula, \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado em um processo reversível infinitesimal e \,T\, é a temperatura em cada ponto do caminho reversível.)

Passo 4

Escolher um caminho reversível conveniente entre os mesmos estados: como vimos em

Passo 5

Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o trabalho reversível diferencial é
\delta W_{\text{rev}} = p\,dV,
onde, pela equação de estado do gás ideal, p=\dfrac{nRT}{V}. Como em processo isotérmico para gás ideal a variação de energia interna é zero, o calor reversível diferencial satisfaz
\delta Q_{\text{rev}} = dU + \delta W_{\text{rev}} = 0 + p\,dV = \frac{nRT}{V}\,dV.
Aqui: \,n\, é o número de mols do gás e \,R\, é a constante universal dos gases.

Passo 6

Calcular a variação de entropia integrando \delta Q_{\text{rev}}/T ao longo da expansão isotérmica reversível escolhida.
Usando \delta Q_{\text{rev}} = \dfrac{nRT}{V}\,dV e dividindo por T:
\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} = \frac{nR}{V}\,dV.
Integrando de \,V_i=V_0\, até \,V_f=2V_0\,:
\Delta S = \int_{V_0}^{2V_0} \frac{nR}{V}\,dV = nR \int_{V_0}^{2V_0} \frac{dV}{V} = nR\left[\ln V\right]_{V_0}^{2V_0}.
Portanto,
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{2V_0}{V_0}\right) = nR\ln 2.

Passo 7

Interpretação física e verificação de consistência:
  • O resultado \Delta S = nR\ln 2 é positivo, o que faz sentido: a expansão livre é irreversível e aumenta a entropia do gás (e, sendo o processo isolado, aumenta a entropia total do universo).
  • Observação numérica útil: por mol ( n=1) tem-se \Delta S = R\ln 2\approx 8{,}314\cdot 0{,}6931\approx 5{,}76\\ \mathrm{J\!/\!K} por mol.

Resposta

\Delta S = nR\ln 2

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