Dadas as transformações lineares F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \in G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que F(x, y, z)= (x-2 y+z, x-z) e G(x, y)=(x+y,-2 x, x-y),
encontre F \circ G e, caso exista, (F \circ G)^{-1}.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar a composição F\circ G, isto é, a transformação linear que aplica primeiro G e depois F.
Determinar, se existir, a inversa (F\circ G)^{-1}.
Informações dadas:
F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por F(x,y,z)=(x-2y+z,\;x-z).
G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por G(x,y)=(x+y,\;-2x,\;x-y).
Domínios e contradomínios já estão especificados acima.
Passo 2
O que significa calcular F\circ G:
Por definição, (F\circ G)(x,y)=F\bigl(G(x,y)\bigr).
Primeiro calculamos G(x,y) e depois substituímos esse vetor na expressão de F.
Substituição direta:
Tome \;G(x,y)=(u,v,w)=(x+y,\;-2x,\;x-y).
Agora aplique F em (u,v,w). Lembre que F(u,v,w)=(u-2v+w,\;u-w).
Cálculo componente a componente:
Primeira componente:
u-2v+w = (x+y) -2(-2x) + (x-y).
Desenvolvendo:
(x+y) -2(-2x) + (x-y) = x+y +4x + x - y = 6x.
(Observe que y e -y se cancelam.)
Segunda componente:
u-w = (x+y) - (x-y) = x+y-x+y = 2y.
Conclusão deste passo:
(F\circ G)(x,y) = (6x,\;2y).
Passo 3
Representação matricial (para entender invertibilidade de forma prática):
A matriz de G na base canônica é 3\times2. Podemos montar pelas imagens dos vetores canônicos:G(e_1)=G(1,0)=(1,-2,1),\qquad G(e_2)=G(0,1)=(1,0,-1).EntãoA_G=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 0\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
A matriz de F na base canônica é 2\times3:F(e_1)= (1,1),\; F(e_2)=(-2,0),\; F(e_3)=(1,-1),logoA_F=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1\\[4pt]1 & 0 & -1\end{pmatrix}.
que corresponde à transformação (x,y)\mapsto(6x,2y), consistente com o cálculo direto do Passo 2.]
Passo 4
Critério de invertibilidade e cálculo da inversa:
Para uma transformação linear de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 representada por uma matriz 2\times2, ela é invertível se, e somente se, o determinante da matriz for diferente de zero.
Calcule o determinante de A_{F\circ G}:\det(A_{F\circ G}) = 6\cdot 2 - 0\cdot 0 = 12 \neq 0.Portanto (F\circ G) é invertível e a inversa existe.
Como encontrar a inversa na prática:
Para a matriz diagonal é trivial: a inversa é a matriz diagonal cujas entradas são os recíprocos.A_{F\circ G}^{-1}=\begin{pmatrix}1/6 & 0\\[4pt]0 & 1/2\end{pmatrix}.
Interpretando como transformação: se (F\circ G)(x,y)=(u,v)=(6x,2y), então resolvendo para (x,y) obtemosx=\frac{u}{6},\qquad y=\frac{v}{2}.Portanto a inversa aplicada a (u,v) é (u/6,\;v/2).]
Passo 5
Verificação rápida (checagem):
Composição de A_{F\circ G} com sua inversa dá a identidade:\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/6 & 0\\[4pt]0 & 1/2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},confirmando que a inversa encontrada está correta.]