Questão 03: ( 2,5 pontos) Um controlador proporcional-integral (PI) possui uma ação de controle definida por u(t)=K_{p} e(t)+\frac{K_{p}}{t_{i}} \int_{0}^{t} e(t) d t. Se o sinal de erro e(t) for um degrau unitário (ou seja, e(t)=1 para t \geq 0 ), determine a expressão da saída do controlador \mathrm{u}(\mathrm{t}) em função do tempo, e qual seria o valor de u(t) quando t=T_{i}.

Passo 1

O enunciado nos dá a ação de controle do controlador proporcional-integral (PI):
u(t)=K_{p}\,e(t)+\frac{K_{p}}{t_{i}}\int_{0}^{t} e(\tau)\,d\tau.
As informações fornecidas são:
  • K_{p} é o ganho proporcional (constante).
  • t_{i} é a constante de tempo integral (constante).
  • O sinal de erro é um degrau unitário: e(t)=1 para t\ge 0.
  • Pede-se: (a) a expressão de u(t) em função do tempo; (b) o valor de u(t) quando t=T_{i}.
Observação: o enunciado usa t_{i} na fórmula e T_{i} no pedido; vou entender que T_{i} é a mesma constante integral (apenas diferença de notação), ou seja T_{i}=t_{i}. Sem essa identificação não é possível avaliar numericamente no tempo pedido.

Passo 2

Entendendo os termos (rápida aula): o controlador PI tem duas partes:
  • Parte proporcional: K_{p}\,e(t). Ela reage instantaneamente ao erro multiplicando por K_{p}.
  • Parte integral: \dfrac{K_{p}}{t_{i}}\displaystyle\int_{0}^{t} e(\tau)\,d\tau. Essa acumula o erro ao longo do tempo e corrige erros persistentes. Aqui \tau é a variável de integração (usada para não confundir com o tempo final t).
Para prosseguir, precisamos calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{t} e(\tau)\,d\tau com e(\tau)=1.

Passo 3

Calcular a integral do degrau unitário. Como e(\tau)=1 para \tau\ge0,
\int_{0}^{t} e(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} 1\,d\tau.
A primitiva de 1 em relação a \tau é \tau. Avaliando entre 0 e t pelo teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{t} 1\,d\tau = \bigl[\tau\bigr]_{0}^{t}=t-0=t.

Passo 4

Substituir o resultado da integral na expressão de u(t). Temos
u(t)=K_{p}\,e(t)+\frac{K_{p}}{t_{i}}\int_{0}^{t} e(\tau)\,d\tau =K_{p}\cdot 1 + \frac{K_{p}}{t_{i}}\cdot t.
Fatorando K_{p},
u(t)=K_{p}\!\left(1+\frac{t}{t_{i}}\right).
Essa é a expressão do sinal de saída do controlador para t\ge0 quando o erro é um degrau unitário.

Passo 5

Interpretação rápida (útil na prova): a saída começa em u(0)=K_{p} (apenas ação proporcional instantânea) e cresce linearmente com inclinação \dfrac{K_{p}}{t_{i}} devido ao termo integral. Isso significa que, enquanto o erro permanecer =1, o integrador acumula causando um aumento sem limite no tempo (rampa).

Passo 6

Avaliar u(t) no instante t=T_{i}. Substituindo t=T_{i} (lembrando T_{i}=t_{i}):
u(T_{i})=K_{p}\!\left(1+\frac{T_{i}}{t_{i}}\right)=K_{p}\!\left(1+\frac{t_{i}}{t_{i}}\right)=K_{p}(1+1)=2K_{p}.

Resposta

u(t)=K_{p}\!\left(1+\frac{t}{t_{i}}\right)
u(T_{i})=2K_{p}

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