Questão 03: ( 2,5 pontos) Um controlador proporcional-integral (PI) possui uma ação de controle definida por
. Se o sinal de erro
for um degrau unitário (ou seja,
para
), determine a expressão da saída do controlador
em função do tempo, e qual seria o valor de
quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá a ação de controle do controlador proporcional-integral (PI):
As informações fornecidas são:
-
é o ganho proporcional (constante). -
é a constante de tempo integral (constante). - O sinal de erro é um degrau unitário:
para . - Pede-se: (a) a expressão de
em função do tempo; (b) o valor de quando .
Observação: o enunciado usa
na fórmula e
no pedido; vou entender que
é a mesma constante integral (apenas diferença de notação), ou seja
. Sem essa identificação não é possível avaliar numericamente no tempo pedido.
Passo 2
Entendendo os termos (rápida aula): o controlador PI tem duas partes:
- Parte proporcional:
. Ela reage instantaneamente ao erro multiplicando por . - Parte integral:
. Essa acumula o erro ao longo do tempo e corrige erros persistentes. Aqui é a variável de integração (usada para não confundir com o tempo final ).
Para prosseguir, precisamos calcular a integral
com
.
Passo 3
Calcular a integral do degrau unitário. Como
para
,
A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando entre
e
pelo teorema fundamental do cálculo:
Passo 4
Substituir o resultado da integral na expressão de
. Temos
Fatorando
,
Essa é a expressão do sinal de saída do controlador para
quando o erro é um degrau unitário.
Passo 5
Interpretação rápida (útil na prova): a saída começa em
(apenas ação proporcional instantânea) e cresce linearmente com inclinação
devido ao termo integral. Isso significa que, enquanto o erro permanecer =1, o integrador acumula causando um aumento sem limite no tempo (rampa).
Passo 6
Avaliar
no instante
. Substituindo
(lembrando
):