Questão 03. (2,0 pontos) Dada a equação abaixo utilize Derivação Implicita para determinar \frac{d y}{d x}.
y^{3}+y x^{2}+x^{2}-3 y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede que, dada a equação
y^{3}+y x^{2}+x^{2}-3 y^{2}=0,
utilizemos derivação implícita para determinar \frac{dy}{dx}.
Informações relevantes:
  • A relação entre x e y está dada implicitamente pela equação acima.
  • y é considerada função de x, ou seja y = y(x). Quando derivarmos termos que envolvem y, devemos usar \frac{dy}{dx}.
  • O objetivo final é isolar \frac{dy}{dx} (ou y') em função de x e y.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação simples):
  1. Regra da cadeia: se temos uma função composta f(y(x)), a derivada em relação a x é
\frac{d}{dx}f(y(x)) = f'(y)\cdot \frac{dy}{dx}.
Exemplo concreto: \frac{d}{dx}\big(y^3\big)=3y^2\cdot \frac{dy}{dx}, porque tratamos y como função de x.
  1. Regra do produto: se temos u(x)\,v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u v\big) = u'\,v + u\,v'.
No caso de y x^2, considere u=y(x) e v=x^2. Então
\frac{d}{dx}\big(y x^2\big) = y'\,x^2 + y\cdot 2x.
  1. Derivada de potências de x: \frac{d}{dx}\big(x^2\big)=2x.
Usaremos essas três regras para derivar cada termo da equação.

Passo 3

Vamos derivar a equação termo a termo em relação a x. Diferenciando ambos os lados de
y^{3}+y x^{2}+x^{2}-3 y^{2}=0,
obtemos, aplicando as regras do passo anterior:
  • Para \;y^3\;: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(y^3\big)=3y^2\cdot y'.
  • Para \;y x^2\;: pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(y x^2\big)=y'\,x^2 + y\cdot 2x.
  • Para \;x^2\;: \frac{d}{dx}\big(x^2\big)=2x.
  • Para \;-3y^2\;: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(-3y^2\big)=-3\cdot 2y\cdot y' = -6y\,y'.
O lado direito 0 tem derivada 0.

Passo 4

Juntando todas as derivadas obtidas, temos:
3y^2\,y' + \big(y'\,x^2 + 2x\,y\big) + 2x - 6y\,y' = 0.
Agora vamos organizar os termos separando os que têm y' dos que não têm.

Passo 5

Agrupando os termos com y' e os termos sem y':
(3y^2\,y' + x^2\,y' - 6y\,y') + (2x\,y + 2x) = 0.
Fatorando y' no primeiro grupo e fatorando 2x no segundo:
y'\big(3y^2 + x^2 - 6y\big) + 2x\big(y + 1\big) = 0.

Passo 6

Isolando y' (ou \frac{dy}{dx}):
y'\big(3y^2 + x^2 - 6y\big) = -2x\big(y + 1\big).
Desde que o denomidador não seja zero (vou deixar essa condição implícita para a prova: se 3y^2 + x^2 - 6y = 0 não dá para isolar), dividimos ambos os lados por (3y^2 + x^2 - 6y) e obtemos:
y' = -\frac{2x(y+1)}{3y^2 + x^2 - 6y}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{2x(y+1)}{3y^{2}+x^{2}-6y}

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