Questão 03. (2,0 pontos) Dada a equação abaixo utilize Derivação Implicita para determinar
.
Passo 1
O enunciado pede que, dada a equação
utilizemos derivação implícita para determinar
.
Informações relevantes:
- A relação entre
e está dada implicitamente pela equação acima. -
é considerada função de , ou seja . Quando derivarmos termos que envolvem , devemos usar . - O objetivo final é isolar
(ou ) em função de e .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação simples):
- Regra da cadeia: se temos uma função composta
, a derivada em relação a é
Exemplo concreto:
, porque tratamos
como função de
.
- Regra do produto: se temos
, então
No caso de
, considere
e
. Então
- Derivada de potências de
: .
Usaremos essas três regras para derivar cada termo da equação.
Passo 3
Vamos derivar a equação termo a termo em relação a
. Diferenciando ambos os lados de
obtemos, aplicando as regras do passo anterior:
- Para
: pela regra da cadeia,
- Para
: pela regra do produto,
-
Para
: -
Para
: pela regra da cadeia,
O lado direito
tem derivada
.
Passo 4
Juntando todas as derivadas obtidas, temos:
Agora vamos organizar os termos separando os que têm
dos que não têm.
Passo 5
Agrupando os termos com
e os termos sem
:
Fatorando
no primeiro grupo e fatorando
no segundo:
Passo 6
Isolando
(ou
):
Desde que o denomidador não seja zero (vou deixar essa condição implícita para a prova: se
não dá para isolar), dividimos ambos os lados por
e obtemos: