Questão 02. (3,0 pontos) Dada a função abaixo determine.

31^{\circ}

a. Determine seus Pontos Críticos.
f(x)=-x^{3}-2 x^{2}+2
b. Analise os intervalos de crescimento e decrescimento da Função.
c. Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da Função.
d. Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função.
e. Analise os intervalos de mudança de concavidade do Gráfico da Função.
f. Esboce o Gráfico da Função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^{3} - 2x^{2} + 2
e pede seis coisas:
a. Determinar os pontos críticos.
b. Analisar os intervalos de crescimento e decrescimento.
c. Usar o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.
d. Determinar os pontos de inflexão do gráfico.
e. Analisar os intervalos de mudança de concavidade.
f. Esboçar o gráfico da função (descrição qualitativa e pontos importantes).
As informações que temos são apenas a expressão de f(x). Nada falta para responder a todas as partes — tudo se obtém por derivação simples e análise de sinais.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Lembra da regra do poder: para x^n, a derivada é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo em f(x)=-x^{3}-2x^{2}+2:
Derivando -x^{3} gera -3x^{2}.
Derivando -2x^{2} gera -4x.
Derivando 2 (constante) gera 0.
Portanto,
f'(x) = -3x^{2} - 4x.
É útil fatorar f'(x) para resolver igual a zero e para estudar sinais:
f'(x) = -x(3x+4).

Passo 3

Pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida. Aqui f' está definida para todo x, então resolvemos f'(x)=0:
-x(3x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 3x+4=0.
Da segunda equação vem x=-\dfrac{4}{3}.
Portanto os pontos críticos em abscissas são x=-\dfrac{4}{3} e x=0. Para ter os pontos do gráfico, calculamos f nesses x:
Calcule f\left(-\dfrac{4}{3}\right):
f\!\left(-\frac{4}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right)^3 - 2\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 2.
Passo a passo: \left(-\dfrac{4}{3}\right)^3 = -\dfrac{64}{27}, então - desse termo é +\dfrac{64}{27}. Também \left(-\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{16}{9}, então -2\cdot \dfrac{16}{9} = -\dfrac{32}{9}. Somando:
\dfrac{64}{27} - \dfrac{32}{9} + 2 = \dfrac{64}{27} - \dfrac{96}{27} + \dfrac{54}{27} = \dfrac{22}{27}.
Logo o ponto crítico é \left(-\dfrac{4}{3},\,\dfrac{22}{27}\right).
Calcule f(0):
f(0)=2,
então o outro ponto crítico é (0,2).

Passo 4

Agora vamos determinar onde a função cresce ou decresce. A ideia é analisar o sinal de f'(x). Temos f'(x)=-x(3x+4). Os zeros são x=-\dfrac{4}{3} e x=0. Fazemos um esquema de sinais nos intervalos determinados por esses pontos: (-\infty,-\tfrac{4}{3}), (-\tfrac{4}{3},0), (0,\infty).
Teste rápido de sinais (eu sempre escolho um ponto fácil em cada intervalo):
  • Para x<- \dfrac{4}{3}, por exemplo x=-2: f'(-2) = -3\cdot 4 -4\cdot(-2) = -12 +8 = -4 < 0. Então f'<0 ali → função decrescente.
  • Para -\dfrac{4}{3}<x<0, por exemplo x=-1: f'(-1) = -3\cdot 1 -4\cdot(-1) = -3 +4 = 1 > 0. Então f'>0 ali → função crescente.
  • Para x>0, por exemplo x=1: f'(1) = -3 -4 = -7 < 0. Então f'<0 ali → função decrescente.
Conclusão: f decresce em (-\infty,-\tfrac{4}{3}), cresce em (-\tfrac{4}{3},0) e decresce em (0,\infty).

Passo 5

Classificação dos extremos pelo Teste da Primeira Derivada: a regra é observar a mudança do sinal de f' quando atravessamos o ponto crítico.
  • Em x=-\dfrac{4}{3}: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso é exatamente o comportamento de um mínimo local. Então x=-\dfrac{4}{3} é um ponto de mínimo local, com valor f\!\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{22}{27}. Escrevemos o ponto de mínimo: \left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{22}{27}\right).
  • Em x=0: f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza um máximo local. Então x=0 é um ponto de máximo local, com valor f(0)=2. Ponto de máximo: (0,2).
Isso é o Teste da Primeira Derivada em ação: verifica-se sinal de f' antes e depois do ponto crítico.

Passo 6

Para achar pontos de inflexão e concavidade usamos a segunda derivada f''(x). Derivando f'(x)=-3x^{2}-4x:
Aplicando a regra do poder: derivada de -3x^2 é -6x; derivada de -4x é -4. Assim
f''(x) = -6x - 4.
Pontes de inflexão potenciais são onde f''(x)=0 ou onde f'' não está definida. Aqui f'' está definida para todo x, então resolvemos
-6x - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.
Calculamos o valor da função nesse x para ter o ponto de inflexão no gráfico:
f\!\left(-\frac{2}{3}\right) = -\left(-\frac{2}{3}\right)^3 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2.
Cálculo: \left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 = -\dfrac{8}{27} - desse termo é +\dfrac{8}{27}. \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9} -2\cdot \dfrac{4}{9} = -\dfrac{8}{9}. Somando:
\dfrac{8}{27} - \dfrac{8}{9} + 2 = \dfrac{8}{27} - \dfrac{24}{27} + \dfrac{54}{27} = \dfrac{38}{27}.
Logo o ponto de inflexão é \left(-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{38}{27}\right), desde que a concavidade realmente mude de um lado para o outro (vamos confirmar no próximo passo).

Passo 7

Testamos sinais de f''(x)=-6x-4 para determinar concavidade:
  • Para x< -\dfrac{2}{3}, pegue x=-1: f''(-1) = -6(-1)-4 = 6-4 = 2 > 0. Então f''>0 ali → concavidade para cima (côncava para cima).
  • Para x> -\dfrac{2}{3}, pegue x=0: f''(0) = -4 < 0. Então f''<0 ali → concavidade para baixo (côncava para baixo).
Como f'' muda de sinal em x=-\dfrac{2}{3}, confirmamos que esse x é ponto de inflexão. Portanto:
Concavidade para cima em (-\infty, -\tfrac{2}{3}).
Concavidade para baixo em (-\tfrac{2}{3}, \infty).

Passo 8

Agora uma descrição do esboço do gráfico usando tudo que já temos (pense nisso como o roteiro para desenhar à mão na prova):
  • Comportamento nas extremidades devido ao termo dominante -x^{3}: quando x\to -\infty, f(x)\to +\infty; quando x\to +\infty, f(x)\to -\infty. Ou seja, o gráfico vem de cima pela esquerda e vai para baixo à direita — típico de um cúbico com coeficiente líder negativo.
  • Pontos-chave já encontrados e que você deve marcar:
    • mínimo local em \left(-\dfrac{4}{3},\,\dfrac{22}{27}\right).
    • ponto de inflexão em \left(-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{38}{27}\right).
    • máximo local em (0,2) — também intercepto em y (ordenada na origem).
  • Ordem espacial: -\infty → decresce até o mínimo em x=-\dfrac{4}{3} → cresce até o máximo em x=0 → decresce até \infty. A concavidade muda de cima para baixo em x=-\dfrac{2}{3}, que fica entre os dois extremos (entre -\tfrac{4}{3} e 0), então no trecho crescente o gráfico passa de côncavo para cima para côncavo para baixo.
  • Intercepto com o eixo y é (0,2). As raízes em x não são racionais simples, então para o esboço basta indicar que a curva corta o eixo x em três pontos complexos/alguns reais dependendo da forma; aqui há exatamente uma raiz real (porque o comportamento de infinito e sinais dos extremos), mas não precisamos de valor exato para o esboço — o importante são os pontos críticos, inflexão e comportamento nas extremidades.
Com esses pontos marcados e as informações de monotonia/concavidade, você consegue fazer um esboço qualitativo fiel do gráfico à mão em poucos segundos na prova.

Resposta

a. Pontos críticos: \left(-\dfrac{4}{3},\,\dfrac{22}{27}\right) e (0,2).
b. Crescimento/Decrescimento: f decresce em \left(-\infty,-\dfrac{4}{3}\right), cresce em \left(-\dfrac{4}{3},0\right), decresce em \left(0,\infty\right).
c. Teste da 1ª derivada (máx/min): mínimo local em \left(-\dfrac{4}{3},\,\dfrac{22}{27}\right); máximo local em (0,2).
d. Pontos de inflexão: \left(-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{38}{27}\right).
e. Concavidade: côncava para cima em \left(-\infty,-\dfrac{2}{3}\right); côncava para baixo em \left(-\dfrac{2}{3},\infty\right).
f. Esboço (descrição): curva vem de +\infty à esquerda, decresce até o mínimo em \left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{22}{27}\right), sobe (mudando de concavidade em -\tfrac{2}{3}) até o máximo em (0,2) (intercepto em y), e depois decresce para -\infty à direita.

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