Questão 02. (3,0 pontos) Dada a função abaixo determine.
a. Determine seus Pontos Críticos.
b. Analise os intervalos de crescimento e decrescimento da Função.
c. Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da Função.
d. Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função.
e. Analise os intervalos de mudança de concavidade do Gráfico da Função.
f. Esboce o Gráfico da Função.
c. Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da Função.
d. Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função.
e. Analise os intervalos de mudança de concavidade do Gráfico da Função.
f. Esboce o Gráfico da Função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede seis coisas:
a. Determinar os pontos críticos.
b. Analisar os intervalos de crescimento e decrescimento.
c. Usar o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.
d. Determinar os pontos de inflexão do gráfico.
e. Analisar os intervalos de mudança de concavidade.
f. Esboçar o gráfico da função (descrição qualitativa e pontos importantes).
a. Determinar os pontos críticos.
b. Analisar os intervalos de crescimento e decrescimento.
c. Usar o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.
d. Determinar os pontos de inflexão do gráfico.
e. Analisar os intervalos de mudança de concavidade.
f. Esboçar o gráfico da função (descrição qualitativa e pontos importantes).
As informações que temos são apenas a expressão de
. Nada falta para responder a todas as partes — tudo se obtém por derivação simples e análise de sinais.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Lembra da regra do poder: para
, a derivada é
. Aplicando termo a termo em
:
Derivando
gera
.
Derivando gera
.
Derivando (constante) gera
.
Derivando
Derivando
Portanto,
É útil fatorar
para resolver igual a zero e para estudar sinais:
Passo 3
Pontos críticos são pontos onde
ou onde
não está definida. Aqui
está definida para todo
, então resolvemos
:
Da segunda equação vem
.
Portanto os pontos críticos em abscissas são
e
. Para ter os pontos do gráfico, calculamos
nesses
:
Calcule
:
Passo a passo:
, então
desse termo é
. Também
, então
. Somando:
Logo o ponto crítico é
.
Calcule
:
então o outro ponto crítico é
.
Passo 4
Agora vamos determinar onde a função cresce ou decresce. A ideia é analisar o sinal de
. Temos
. Os zeros são
e
. Fazemos um esquema de sinais nos intervalos determinados por esses pontos:
,
,
.
Teste rápido de sinais (eu sempre escolho um ponto fácil em cada intervalo):
-
Para
, por exemplo : . Então ali → função decrescente. -
Para
, por exemplo : . Então ali → função crescente. -
Para
, por exemplo : . Então ali → função decrescente.
Conclusão:
decresce em
, cresce em
e decresce em
.
Passo 5
Classificação dos extremos pelo Teste da Primeira Derivada: a regra é observar a mudança do sinal de
quando atravessamos o ponto crítico.
-
Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso é exatamente o comportamento de um mínimo local. Então é um ponto de mínimo local, com valor . Escrevemos o ponto de mínimo: . -
Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza um máximo local. Então é um ponto de máximo local, com valor . Ponto de máximo: .
Isso é o Teste da Primeira Derivada em ação: verifica-se sinal de
antes e depois do ponto crítico.
Passo 6
Para achar pontos de inflexão e concavidade usamos a segunda derivada
. Derivando
:
Aplicando a regra do poder: derivada de
é
; derivada de
é
. Assim
Pontes de inflexão potenciais são onde
ou onde
não está definida. Aqui
está definida para todo
, então resolvemos
Calculamos o valor da função nesse
para ter o ponto de inflexão no gráfico:
Cálculo:
→
desse termo é
.
→
. Somando:
Logo o ponto de inflexão é
, desde que a concavidade realmente mude de um lado para o outro (vamos confirmar no próximo passo).
Passo 7
Testamos sinais de
para determinar concavidade:
-
Para
, pegue : . Então ali → concavidade para cima (côncava para cima). -
Para
, pegue : . Então ali → concavidade para baixo (côncava para baixo).
Como
muda de sinal em
, confirmamos que esse
é ponto de inflexão. Portanto:
Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Concavidade para baixo em
Passo 8
Agora uma descrição do esboço do gráfico usando tudo que já temos (pense nisso como o roteiro para desenhar à mão na prova):
-
Comportamento nas extremidades devido ao termo dominante
: quando , ; quando , . Ou seja, o gráfico vem de cima pela esquerda e vai para baixo à direita — típico de um cúbico com coeficiente líder negativo. -
Pontos-chave já encontrados e que você deve marcar:
- mínimo local em
. - ponto de inflexão em
. - máximo local em
— também intercepto em (ordenada na origem).
- mínimo local em
-
Ordem espacial:
→ decresce até o mínimo em → cresce até o máximo em → decresce até . A concavidade muda de cima para baixo em , que fica entre os dois extremos (entre e ), então no trecho crescente o gráfico passa de côncavo para cima para côncavo para baixo. -
Intercepto com o eixo
é . As raízes em não são racionais simples, então para o esboço basta indicar que a curva corta o eixo em três pontos complexos/alguns reais dependendo da forma; aqui há exatamente uma raiz real (porque o comportamento de infinito e sinais dos extremos), mas não precisamos de valor exato para o esboço — o importante são os pontos críticos, inflexão e comportamento nas extremidades.
Com esses pontos marcados e as informações de monotonia/concavidade, você consegue fazer um esboço qualitativo fiel do gráfico à mão em poucos segundos na prova.
Resposta
a. Pontos críticos:
e
.
b. Crescimento/Decrescimento: decresce em
, cresce em
, decresce em
.
c. Teste da 1ª derivada (máx/min): mínimo local em ; máximo local em
.
d. Pontos de inflexão: .
e. Concavidade: côncava para cima em ; côncava para baixo em
.
f. Esboço (descrição): curva vem de à esquerda, decresce até o mínimo em
, sobe (mudando de concavidade em
) até o máximo em
(intercepto em
), e depois decresce para
à direita.
b. Crescimento/Decrescimento:
c. Teste da 1ª derivada (máx/min): mínimo local em
d. Pontos de inflexão:
e. Concavidade: côncava para cima em
f. Esboço (descrição): curva vem de