Questão 1: [10 pontos] Calcule as séries de Fourier das seguintes extensões periódicas de período \pi para a funçāo f definida no intervalo ( 0, \pi / 2 ) por
f(x)=\cos x .
[5 pontos] Extensāo ímpar.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a série de Fourier da extensão periódica de período \pi da função f definida em (0,\pi/2) por
f(x)=\cos x,
considerando a extensão ímpar (ou seja, estendemos f de forma que f(-x)=-f(x)).
Informações relevantes dadas:
\text{Função original: } f(x)=\cos x \text{ para } 0<x<\pi/2.çã
\text{Período da extensão periódica: } \pi.íãó
\text{Tipo de extensão: ímpar.}ãí

Passo 2

Escolhemos um intervalo de comprimento igual ao período para aplicar as fórmulas padrão de séries de Fourier. Como o período é \pi\), tomamos o intervalo simétrico \[(-L,L),\quad\text{com }2L=\pi\Rightarrow L=\pi/2.
Assim trabalharemos em (- \pi/2,\; \pi/2). Na extensão ímpar:
f(x)=\begin{cases} \cos x, & 0<x<\pi/2,\\[4pt] -\,\cos(-x)= -\cos x, & -\pi/2<x<0, \end{cases}
ou seja, f\] é ímpar no intervalo \((-\pi/2,\pi/2) e periódica de período \pi.]

Passo 3

Recordando a fórmula da série de Fourier para funções de período 2L (aqui L=\pi/2):
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_n\cos\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big)+b_n\sin\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big)\Big),
onde
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big)\,dx.
Aqui \tfrac{n\pi}{L}=\tfrac{n\pi}{\pi/2}=2n, portanto as bases são \cos(2n x) e \sin(2n x).
Como f é ímpar, todos os coeficientes a_n (incluindo a_0) serão zero — explico por que: o produto de uma função ímpar com a função par \cos(2n x) é ímpar, e a integral de uma função ímpar em [-L,L] é zero.
Logo teremos apenas termos com seno:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(2n x),
com
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin(2n x)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x)\sin(2n x)\,dx.

Passo 4

Aproveitamos a paridade: f é ímpar e \sin(2n x) também é ímpar, então o produto f(x)\sin(2n x) é par. Portanto
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x)\sin(2n x)\,dx=2\int_{0}^{\pi/2} f(x)\sin(2n x)\,dx.
Como em (0,\pi/2) temos f(x)=\cos x, obtemos
b_n=\frac{2}{\pi}\cdot 2\int_{0}^{\pi/2} \cos x\sin(2n x)\,dx=\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2n x)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral
I_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2n x)\,dx.
Usamos a identidade produto-para-soma
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Com A=2n x e B=x temos
\cos x\sin(2n x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin((2n+1)x)+\sin((2n-1)x)\big).
Logo
I_n=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin((2n+1)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin((2n-1)x)\,dx.

Passo 6

Integramos cada termo: para k\neq0,
\int_{0}^{\pi/2}\sin(kx)\,dx=\left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{1-\cos\big(\tfrac{k\pi}{2}\big)}{k}.
Aplicando isso com k=2n+1 e k=2n-1, e lembrando que para todo inteiro m vale \cos\big((2m\pm1)\tfrac{\pi}{2}\big)=0, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\sin((2n+1)x)\,dx=\frac{1}{2n+1},\qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin((2n-1)x)\,dx=\frac{1}{2n-1}.
Portanto
I_n=\tfrac{1}{2}\Big(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\Big).

Passo 7

Somando e simplificando:
I_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{(2n-1)+(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4n}{4n^2-1}=\frac{2n}{4n^2-1}.
Substituindo em b_n:
b_n=\frac{4}{\pi}I_n=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{2n}{4n^2-1}=\frac{8n}{\pi(4n^2-1)}.

Passo 8

Portanto a série de Fourier da extensão ímpar periódica de período \pi é apenas com senos de argumentos 2nx, com coeficientes b_n calculados acima:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n}{\pi(4n^2-1)}\sin(2n x).
Essa igualdade vale pontualmente em x onde a função extende-se de forma contínua; nos pontos de descontinuidade (se houver) a série converge para a média dos limites laterais.

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n}{\pi(4n^2-1)}\sin(2n x).

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