Questão 1: [10 pontos] Calcule as séries de Fourier das seguintes extensões periódicas de período
para a funçāo
definida no intervalo (
) por
[5 pontos] Extensāo ímpar.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a série de Fourier da extensão periódica de período
da função
definida em
por
considerando a extensão ímpar (ou seja, estendemos
de forma que
).
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Escolhemos um intervalo de comprimento igual ao período para aplicar as fórmulas padrão de séries de Fourier. Como o período é
Assim trabalharemos em
. Na extensão ímpar:
ou seja,
e periódica de período
.]
Passo 3
Recordando a fórmula da série de Fourier para funções de período
(aqui
):
onde
Aqui
, portanto as bases são
e
.
Como
é ímpar, todos os coeficientes
(incluindo
) serão zero — explico por que: o produto de uma função ímpar com a função par
é ímpar, e a integral de uma função ímpar em
é zero.
Logo teremos apenas termos com seno:
com
Passo 4
Aproveitamos a paridade:
é ímpar e
também é ímpar, então o produto
é par. Portanto
Como em
temos
, obtemos
Passo 5
Agora calculamos a integral
Usamos a identidade produto-para-soma
Com
e
temos
Logo
Passo 6
Integramos cada termo: para
,
Aplicando isso com
e
, e lembrando que para todo inteiro
vale
, obtemos
Portanto
Passo 7
Somando e simplificando:
Substituindo em
:
Passo 8
Portanto a série de Fourier da extensão ímpar periódica de período
é apenas com senos de argumentos
, com coeficientes
calculados acima:
Essa igualdade vale pontualmente em
onde a função extende-se de forma contínua; nos pontos de descontinuidade (se houver) a série converge para a média dos limites laterais.