QUESTÃO 03 (PROBLEMA 4.1):

Dois reservatórios \mathrm{R}_{1} e \mathrm{R}_{2} possuem seus níveis de água constantes e nas cotas 75 e 60, respectivamente. Uma adutora, composta por dois trechos em série, interliga esses dois reservatórios. Tendo em vista as características da adutora, apresentadas a seguir, pede-se determinar a vazão escoada.
Trecho 1: \mathrm{D}_{1}=400 \mathrm{~mm}, \mathrm{~L}_{1}=1000 \mathrm{~m}, coeficiente de perda de carga \mathrm{C}_{1}=110
Trecho 2: \mathrm{D}_{2}=300 \mathrm{~mm}, \mathrm{~L}_{2}=500 \mathrm{~m}, coeficiente de perda de carga \mathrm{C}_{2}=90
\operatorname{Resp}: Q=0,135 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado fornece os níveis (cotas) dos dois reservatórios e as características da adutora (dois trechos em série). Pedidos e dados importantes:
  • O que se pede: determinar a vazão escoada Q na adutora.
  • Níveis dos reservatórios:
    • Reservatório \mathrm{R}_1: cota 75.
    • Reservatório \mathrm{R}_2: cota 60.
  • Diferença de carga disponível (queda total de nível): H = 75 - 60 = 15 metros.
  • Trecho 1:
    • \,D_1 = 400\\ \mathrm{mm} (fornecido no enunciado),
    • \,L_1 = 1000\\ \mathrm{m},
    • coeficiente C_1 = 110.
  • Trecho 2:
    • \,D_2 = 300\\ \mathrm{mm},
    • \,L_2 = 500\\ \mathrm{m},
    • coeficiente C_2 = 90.
Observação: o enunciado dá exatamente os valores C_1 e C_2 (números típicos de coeficiente da fórmula de Hazen–Williams), então a resolução usará essa fórmula para calcular as perdas de carga em cada trecho e, assim, obter Q.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (Hazen–Williams) e explicando seus termos de forma simples.
A fórmula de Hazen–Williams para perda de carga por atrito em um trecho retilíneo é, em unidades SI (comprimento em metros, Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, diâmetro em metros, perda em metros):
h_f = 10,67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}.
onde
  • h_f é a perda de carga (em metros) no trecho,
  • L é o comprimento do trecho (em metros),
  • Q é a vazão (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional; dado no enunciado),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (em metros).
Breve intuição: essa fórmula relaciona a vazão elevada com perdas maiores; os expoentes 1{,}852 e 4{,}87 são empíricos da fórmula Hazen–Williams. O coeficiente C caracteriza a rugosidade da tubulação (maior C → menor perda).

Passo 3

Montando a equação global do sistema em série. Como os dois trechos estão em série, a perda total por atrito é a soma das perdas nos trechos. A diferença de cota H entre os reservatórios é consumida por essas perdas:
H = h_{1} + h_{2}.
Usando Hazen–Williams em cada trecho:
h_{1} = 10,67\,\frac{L_{1}\,Q^{1{,}852}}{C_{1}^{1{,}852}\,D_{1}^{4{,}87}},\qquad h_{2} = 10,67\,\frac{L_{2}\,Q^{1{,}852}}{C_{2}^{1{,}852}\,D_{2}^{4{,}87}}.
Como Q é o mesmo em ambos os trechos (série), fatoramos Q^{1{,}852}:
H = \Bigg(10,67\frac{L_{1}}{C_{1}^{1{,}852}D_{1}^{4{,}87}} + 10,67\frac{L_{2}}{C_{2}^{1{,}852}D_{2}^{4{,}87}}\Bigg) Q^{1{,}852}.
Definindo os coeficientes
A_{1}=10,67\frac{L_{1}}{C_{1}^{1{,}852}D_{1}^{4{,}87}},\qquad A_{2}=10,67\frac{L_{2}}{C_{2}^{1{,}852}D_{2}^{4{,}87}},
temos
H = (A_{1}+A_{2})\,Q^{1{,}852}.
Logo, isolando Q:
Q = \left(\frac{H}{A_{1}+A_{2}}\right)^{\!1/1{,}852}.

Passo 4

Conversão de unidades e valores numéricos a usar:
  • Diâmetros: \,D_{1}=400\\ \mathrm{mm}=0{,}4\\ \mathrm{m}, \,D_{2}=300\\ \mathrm{mm}=0{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Comprimentos e C já em unidades adequadas:
    • L_{1}=1000\\ \mathrm{m}, C_{1}=110.
    • L_{2}=500\\ \mathrm{m}, C_{2}=90.
  • Queda disponível: H=15\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo de A_{1}. Vamos calcular passo a passo os fatores no denominador e depois A_1.
Calcular C_{1}^{1{,}852}:
C_{1}^{1{,}852} = 110^{1{,}852} \approx 6031.
Calcular D_{1}^{4{,}87}:
D_{1}^{4{,}87} = (0{,}4)^{4{,}87} \approx 0{,}01153.
Denominador completo:
C_{1}^{1{,}852}D_{1}^{4{,}87} \approx 6031\times 0{,}01153 \approx 69{,}54.
Agora A_{1}:
A_{1}=10{,}67\frac{L_{1}}{C_{1}^{1{,}852}D_{1}^{4{,}87}} =10{,}67\frac{1000}{69{,}54}\approx 153{,}4.

Passo 6

Cálculo de A_{2} com o mesmo detalhamento.
Calcular C_{2}^{1{,}852}:
C_{2}^{1{,}852} = 90^{1{,}852} \approx 4163.
Calcular D_{2}^{4{,}87}:
D_{2}^{4{,}87} = (0{,}3)^{4{,}87} \approx 0{,}00283.
Denominador completo:
C_{2}^{1{,}852}D_{2}^{4{,}87} \approx 4163\times 0{,}00283 \approx 11{,}78.
Agora A_{2}:
A_{2}=10{,}67\frac{L_{2}}{C_{2}^{1{,}852}D_{2}^{4{,}87}} =10{,}67\frac{500}{11{,}78}\approx 452{,}8.

Passo 7

Somando os coeficientes e resolvendo para Q.
Somatório:
A_{1}+A_{2}\approx 153{,}4 + 452{,}8 = 606{,}2.
Então
Q^{1{,}852} = \frac{H}{A_{1}+A_{2}} = \frac{15}{606{,}2}\approx 0{,}02475.
Elevando ao inverso do expoente:
Q = \left(0{,}02475\right)^{1/1{,}852}.
O expoente 1/1{,}852 \approx 0{,}5398. Calculando:
Q \approx 0{,}136\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): calcular as perdas com o Q obtido e somar para conferir se dão H.
Usando Q^{1{,}852}\approx 0{,}02475:
h_{1}=A_{1}Q^{1{,}852}\approx 153{,}4\times 0{,}02475\approx 3{,}80\\ \mathrm{m},
h_{2}=A_{2}Q^{1{,}852}\approx 452{,}8\times 0{,}02475\approx 11{,}20\\ \mathrm{m},
soma h_{1}+h_{2}\approx 3{,}80+11{,}20=15{,}0\\ \mathrm{m}, que é exatamente a queda disponível H. Portanto o resultado está consistente.

Resposta

Q=0,135\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}

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