2-) Um certo campo de escoamento bidimensional é descrito por:
(a) Quais são os componentes radial e tangencial do vetor velocidade deste escoamento?
(b) Determine a função corrente deste escoamento utilizando um sistema de coordenadas cartesiano e outro cilíndrico polar.
(b) Determine a função corrente deste escoamento utilizando um sistema de coordenadas cartesiano e outro cilíndrico polar.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento bidimensional com componentes de velocidade cartesianas
onde
é uma constante (velocidade na direção
). As perguntas são:
(a) obter as componentes radial e tangencial (ou azimutal) do vetor velocidade;
(b) determinar a função corrente em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares cilíndricas.
(a) obter as componentes radial e tangencial (ou azimutal) do vetor velocidade;
(b) determinar a função corrente
As informações relevantes: a velocidade é uniforme e aponta no sentido positivo do eixo
; nada mais sobre
é necessário (é constante). A existência de uma função corrente é plausível porque estamos em 2D e a divergência do campo costuma ser zero para escoamentos incompressíveis — vamos verificar isso e usar a definição da função corrente.
Passo 2
Verificar rapidamente divergência (continuidade) para justificar o uso de função corrente. A divergência do campo de velocidade em coordenadas cartesianas é
Com
e
(constante), temos
portanto
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível e existe uma função corrente
cujo uso é apropriado.
Passo 3
Explicar como se obtêm componentes radial e tangencial a partir das componentes cartesianas. Em coordenadas polares
os versores unitários são
Dado o vetor velocidade em base cartesianas
, as projeções nas direções radial e tangencial (componentes escalares) são obtidas por produto escalar:
Essas fórmulas vêm diretamente da escrita dos versores polares em função de
e da definição de componente como produto escalar.
Passo 4
Aplicar as fórmulas do passo anterior com
e
. Substituindo:
Logo as componentes radial e tangencial são
e
.
Uma forma alternativa e útil de ver isso é escrever
em base polares:
portanto
, o que dá as mesmas componentes.
Passo 5
Definir a função corrente em coordenadas cartesianas e resolver. Uma definição muito usada para o escoamento 2D é:
Essa escolha garante
automaticamente (continuidade), porque as derivadas mistas se cancelam. Agora aplicamos ao caso dado.
Da primeira igualdade, com
,
ou seja,
depende apenas de
. Da segunda igualdade, com
,
Integrando em relação a
,
onde
é uma constante arbitrária (pode ser zero sem perda de generalidade). Portanto, em coordenadas cartesianas pode-se escolher
Passo 6
Encontrar a função corrente em coordenadas polares. Em coordenadas polares a relação entre
e as componentes
é (para escoamento bidimensional)
(Estas fórmulas também garantem a continuidade em coordenadas polares.)
Usando
do passo 4:
Integramos em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
. Agora use
e a segunda relação:
Como do passo 4 sabemos que
, segue que
Logo
é constante e podemos escolher essa constante igual a zero. Assim a função corrente em coordenadas polares fica
Note que como
obtemos
, consistente com a expressão em cartesianas.
Passo 7
Checagens rápidas e interpretação:
- Verificação em cartesianas: com
obtemos e . OK. - Em polares: com
obtemos e . OK. - Interpretação física: curvas
constante são linhas de corrente. Aqui constante implica constante, ou seja, linhas verticais paralelas ao eixo , condizentes com um escoamento uniforme na direção .
Passo 8
Resumo final: calculamos as componentes polares projectando o vetor velocidade e determinamos a função corrente tanto em cartesianas quanto em polares; todas as expressões são mutuamente consistentes e simples por causa da uniformidade do campo de velocidade.
Resposta
(a)
(b)