2-) Um certo campo de escoamento bidimensional é descrito por:
\begin{aligned} & u=0 \\\ & v=V \end{aligned}
(a) Quais são os componentes radial e tangencial do vetor velocidade deste escoamento?
(b) Determine a função corrente deste escoamento utilizando um sistema de coordenadas cartesiano e outro cilíndrico polar.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento bidimensional com componentes de velocidade cartesianas
u=0,\qquad v=V,
onde V é uma constante (velocidade na direção y). As perguntas são:
(a) obter as componentes radial e tangencial (ou azimutal) do vetor velocidade;
(b) determinar a função corrente \psi em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares cilíndricas.
As informações relevantes: a velocidade é uniforme e aponta no sentido positivo do eixo y; nada mais sobre V é necessário (é constante). A existência de uma função corrente é plausível porque estamos em 2D e a divergência do campo costuma ser zero para escoamentos incompressíveis — vamos verificar isso e usar a definição da função corrente.

Passo 2

Verificar rapidamente divergência (continuidade) para justificar o uso de função corrente. A divergência do campo de velocidade em coordenadas cartesianas é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Com u=0 e v=V (constante), temos
\frac{\partial u}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=0,
portanto
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível e existe uma função corrente \psi(x,y) cujo uso é apropriado.

Passo 3

Explicar como se obtêm componentes radial e tangencial a partir das componentes cartesianas. Em coordenadas polares (r,\theta) os versores unitários são
\hat{e}_r=\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath},\qquad \hat{e}_\theta=-\sin\theta\,\hat{\imath}+\cos\theta\,\hat{\jmath}.
Dado o vetor velocidade em base cartesianas \mathbf{v}=u\,\hat{\imath}+v\,\hat{\jmath}, as projeções nas direções radial e tangencial (componentes escalares) são obtidas por produto escalar:
v_r=\mathbf{v}\cdot\hat{e}_r = u\cos\theta+v\sin\theta,
v_\theta=\mathbf{v}\cdot\hat{e}_\theta = -u\sin\theta+v\cos\theta.
Essas fórmulas vêm diretamente da escrita dos versores polares em função de \hat{\imath},\hat{\jmath} e da definição de componente como produto escalar.

Passo 4

Aplicar as fórmulas do passo anterior com u=0 e v=V. Substituindo:
v_r = 0\cdot\cos\theta + V\sin\theta = V\sin\theta,
v_\theta = -0\cdot\sin\theta + V\cos\theta = V\cos\theta.
Logo as componentes radial e tangencial são \;v_r=V\sin\theta\; e \;v_\theta=V\cos\theta.
Uma forma alternativa e útil de ver isso é escrever \hat{\jmath} em base polares:
\hat{\jmath}=\sin\theta\,\hat{e}_r+\cos\theta\,\hat{e}_\theta,
portanto \mathbf{v}=V\hat{\jmath}=V\sin\theta\,\hat{e}_r+V\cos\theta\,\hat{e}_\theta, o que dá as mesmas componentes.

Passo 5

Definir a função corrente em coordenadas cartesianas e resolver. Uma definição muito usada para o escoamento 2D é:
u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}.
Essa escolha garante \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0 automaticamente (continuidade), porque as derivadas mistas se cancelam. Agora aplicamos ao caso dado.
Da primeira igualdade, com u=0,
\frac{\partial\psi}{\partial y}=0 \quad\Rightarrow\quad \psi=\psi(x),
ou seja, \psi depende apenas de x. Da segunda igualdade, com v=V,
-\frac{d\psi}{dx}=V \quad\Rightarrow\quad \frac{d\psi}{dx}=-V.
Integrando em relação a x,
\psi(x,y)=-Vx + C,
onde C é uma constante arbitrária (pode ser zero sem perda de generalidade). Portanto, em coordenadas cartesianas pode-se escolher
\psi(x,y)=-Vx.

Passo 6

Encontrar a função corrente em coordenadas polares. Em coordenadas polares a relação entre \psi e as componentes v_r,v_\theta é (para escoamento bidimensional)
v_r=\frac{1}{r}\,\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\qquad v_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r}.
(Estas fórmulas também garantem a continuidade em coordenadas polares.)
Usando v_r=V\sin\theta do passo 4:
\frac{1}{r}\,\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V\sin\theta \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial\psi}{\partial\theta}=rV\sin\theta.
Integramos em relação a \theta:
\psi(r,\theta) = rV\bigl(-\cos\theta\bigr) + g(r) = -Vr\cos\theta + g(r),
onde g(r) é uma função arbitrária de r. Agora use v_\theta=V\cos\theta e a segunda relação:
v_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r} = -\bigl(-V\cos\theta + g'(r)\bigr)=V\cos\theta - g'(r).
Como do passo 4 sabemos que v_\theta=V\cos\theta, segue que
V\cos\theta - g'(r)=V\cos\theta \quad\Rightarrow\quad g'(r)=0.
Logo g(r) é constante e podemos escolher essa constante igual a zero. Assim a função corrente em coordenadas polares fica
\psi(r,\theta) = -Vr\cos\theta.
Note que como r\cos\theta = x obtemos \psi(r,\theta)=-Vx, consistente com a expressão em cartesianas.

Passo 7

Checagens rápidas e interpretação:
  • Verificação em cartesianas: com \psi=-Vx obtemos \partial\psi/\partial y=0=u e -\partial\psi/\partial x=-(-V)=V=v. OK.
  • Em polares: com \psi=-Vr\cos\theta obtemos (1/r)\partial\psi/\partial\theta=V\sin\theta=v_r e -\partial\psi/\partial r=V\cos\theta=v_\theta. OK.
  • Interpretação física: curvas \psi= constante são linhas de corrente. Aqui \psi=-Vx= constante implica x= constante, ou seja, linhas verticais paralelas ao eixo y, condizentes com um escoamento uniforme na direção y.

Passo 8

Resumo final: calculamos as componentes polares projectando o vetor velocidade e determinamos a função corrente tanto em cartesianas quanto em polares; todas as expressões são mutuamente consistentes e simples por causa da uniformidade do campo de velocidade.

Resposta

(a) \;v_r=V\sin\theta,\qquad v_\theta=V\cos\theta
(b) \;\psi(x,y)=-Vx
\;\psi(r,\theta)=-Vr\cos\theta

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