QUESTÃO 03 : Resolva as equações e as inequações.
|2 x-3| \geq 7.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação |2x-3| \geq 7.
Informações dadas: a expressão dentro do valor absoluto é 2x-3 e o lado direito é o número 7. Queremos encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma simples: para qualquer número real a\), o valor absoluto \(|a|\) é a distância de \(a\) até \(0\). Por definição, \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] - a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Isso significa que |a| \ge 0\] sempre, e se quisermos resolver uma desigualdade do tipo \(|a| \ge b com b \ge 0, ela é equivalente a duas possibilidades: a \ge b ou a \le -b. Intuição: a distância até zero é pelo menos b quando o número está a b ou mais para a direita (>= b) ou a b ou mais para a esquerda (<= -b).
No nosso caso b=7 que é positivo, então podemos aplicar essa equivalência diretamente.]

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso a = 2x-3 e b=7, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
2x-3 \ge 7 \quad\text{ou}\quad 2x-3 \le -7.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade 2x-3 \ge 7 passo a passo:
2x-3 \ge 7
adicione 3 em ambos os lados:
2x \ge 10
agora divida por 2 (número positivo, portanto o sentido da desigualdade não muda):
x \ge 5.

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade 2x-3 \le -7 passo a passo:
2x-3 \le -7
adicione 3 em ambos os lados:
2x \le -4
divida por 2 (positivo, então a desigualdade permanece):
x \le -2.

Passo 6

Juntando as duas soluções (é uma “ou” lógico), a solução da inequação original é:
x \le -2 \quad\text{ou}\quad x \ge 5.
Em notação de intervalos isso fica
(-\infty,-2] \cup [5,\infty).
Vamos testar rapidinho para ganhar confiança: para x=-3 temos 2x-3 = -9 e |-9|=9\ge7 (ok); para x=0 temos |-3|=3<7 (não satisfaz); para x=6 temos |12-3|=9\ge7 (ok).

Passo 7

Observação final e dica prática para provas: para inequações do tipo |\text{expressão}| \ge cã com c>0, sempre transforme em duas desigualdades lineares como fizemos. Se fosse |\text{expressão}| \le cã faria a interseção entre limites (resultaria em um intervalo fechado central). Força — você consegue!

Resposta

(-\infty,-2] \cup [5,\infty)

Exercícios relacionados