QUESTÃO 03 : Resolva as equações e as inequações.
\left|4 x^{2}+1\right|=10.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \left|4x^{2}+1\right|=10.
Informações dadas: a expressão dentro do módulo é 4x^{2}+1 e o valor absoluto dessa expressão é igual a 10.
Objetivo: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Lembrete didático sobre valor absoluto: para qualquer expressão A e número não negativo B, a equação \left|A\right|=B é equivalente ao sistema de duas equações
A=B
ou
A=-B.
Isto acontece porque o valor absoluto mede a distância até zero: \left|A\right| é sempre \ge 0, e pode ser igual a B se A for B ou -B.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa equação com A=4x^{2}+1 e B=10, obtemos duas equações a resolver:
4x^{2}+1=10
e
4x^{2}+1=-10.

Passo 4

Resolvo a primeira equação \;4x^{2}+1=10\;:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
4x^{2}=9.
Dividindo ambos os lados por 4:
x^{2}=\frac{9}{4}.
Para obter x tiramos raiz quadrada: lembrando que \sqrt{\;x^{2}\;}=|x|, então
x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}.
Explicação curta: o símbolo \pm aparece porque tanto x=\frac{3}{2} quanto x=-\frac{3}{2} têm quadrado igual a \frac{9}{4}.

Passo 5

Resolvo a segunda equação \;4x^{2}+1=-10\;:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
4x^{2}=-11.
Dividindo por 4:
x^{2}=-\frac{11}{4}.
Aqui vemos um problema para números reais: x^{2} é sempre maior ou igual a 0 para todo x\in\mathbb{R}, logo não pode ser igual a um número negativo como -\frac{11}{4}. Portanto não há soluções reais dessa equação. Conclusão: a segunda equação não fornece soluções reais.

Passo 6

Verificação rápida das soluções obtidas \;x=\pm\frac{3}{2}\;:
Calculo 4x^{2}+1 para x=\frac{3}{2}:
4\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1=4\cdot\frac{9}{4}+1=9+1=10,
então \left|4x^{2}+1\right|=|10|=10 — confere. Para x=-\frac{3}{2} o quadrado é o mesmo, então também confere. Bom trabalho — estamos quase lá!

Resposta

x=\frac{3}{2}
x=-\frac{3}{2}

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