QUESTÃO 03 : Resolva as equações e as inequações. \left|\frac{7-4 x}{3}\right|=5+x.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação
\left|\frac{7-4x}{3}\right| = 5 + x.
Informações relevantes fornecidas:
A incógnita é x.
O lado esquerdo é um valor absoluto: \left|\frac{7-4x}{3}\right|.
O lado direito é a expressão linear 5+x.
Precisamos encontrar todos os x reais que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Entendendo uma propriedade essencial do valor absoluto: para qualquer expressão A e número real B,
|A| = B
só pode ter solução se B \ge 0. Ou seja, antes de mais nada devemos exigir que o lado direito seja não negativo. Aplicando aqui, temos a condição
5 + x \ge 0.
Isso nos diz que qualquer solução candidata deve satisfazer
x \ge -5.
Expliquei isso porque se 5+x<0 o lado direito seria negativo e o módulo não pode ser negativo, então não haveria solução.
Passo 3
Regra prática para resolver |A| = B com B\ge0: isso equivale ao sistema de duas equações lineares:
A = B \quad\text{ou}\quad A = -B.
No nosso caso A=\dfrac{7-4x}{3} e B=5+x. Então temos duas possibilidades a resolver:
\frac{7-4x}{3} = 5 + x
ou
\frac{7-4x}{3} = -(5 + x).
Passo 4
Resolver a primeira equação
\frac{7-4x}{3} = 5 + x.
Passo a passo:
Multiplico ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
7 - 4x = 3(5 + x).
Faço a multiplicação no lado direito:
7 - 4x = 15 + 3x.
Reúnio os termos em x num lado e constantes no outro. Subtraio 3x e subtraio 7 em ambos os lados:
-4x - 3x = 15 - 7.
Simplifico:
-7x = 8.
Divido por -7:
x = -\frac{8}{7}.
Agora verifico a condição de existência x \ge -5. Como -\frac{8}{7} \approx -1{,}14 e -1{,}14 \ge -5, a condição está satisfeita. Ainda vou checar substituindo na equação original para garantir que não houve erro algébrico (vou fazer isso depois, junto com a outra solução).
Passo 5
Resolver a segunda equação
\frac{7-4x}{3} = -(5 + x).
Passo a passo:
Multiplico ambos os lados por 3:
7 - 4x = 3\bigl(-(5 + x)\bigr).
Simplifico o lado direito:
7 - 4x = -15 - 3x.
Reúno termos de x: adiciono 3x aos dois lados e subtraio 7:
-4x + 3x = -15 - 7.
Simplifico:
- x = -22.
Multiplico por -1:
x = 22.
Verifico a condição x \ge -5: 22 \ge -5 é verdadeiro, então a condição básica está satisfeita. Também farei a checagem final de substituição.
Passo 6
Checagem direta das soluções candidatas na equação original (importante para evitar soluções espúrias).
Para x = -\dfrac{8}{7}:
Calculo o lado direito: 5 + x = 5 - \dfrac{8}{7} = \dfrac{35 - 8}{7} = \dfrac{27}{7}.
Calculo o lado esquerdo sem o módulo: \dfrac{7 - 4x}{3} = \dfrac{7 - 4(-8/7)}{3} = \dfrac{7 + 32/7}{3}.
Escrevendo 7=\dfrac{49}{7}:\dfrac{49/7 + 32/7}{3} = \dfrac{81/7}{3} = \dfrac{81}{21} = \dfrac{27}{7}.Como esse valor já é positivo, o módulo não altera: \left|\dfrac{7-4x}{3}\right| = \dfrac{27}{7}.
Portanto os dois lados coincidem e x = -\dfrac{8}{7} é solução válida.
Para x = 22:
Lado direito: 5 + x = 5 + 22 = 27.
Lado esquerdo sem o módulo: \dfrac{7 - 4\cdot 22}{3} = \dfrac{7 - 88}{3} = \dfrac{-81}{3} = -27.
O módulo torna isso positivo: \left|\dfrac{7-4x}{3}\right| = 27.
Novamente os dois lados coincidem, então x = 22 é solução válida.
Passo 7
Concluo que as duas soluções encontradas são realmente soluções da equação original e que satisfazem a condição necessária 5+x\ge0. Não houve soluções descartadas pelo critério de sinal.