Questão 03: (0,5) Seja a \in \mathbb{R} tal que a \neq 0. Prove que \left(a^{-1}\right)^{-1}=a.

Passo 1

O enunciado dá que a\in\mathbb{R} e a\neq0. O que devemos provar é a igualdade
\left(a^{-1}\right)^{-1}=a.
Informações relevantes dadas: a tem inverso multiplicativo a^{-1} (pois é não nulo). Não há outras hipóteses.

Passo 2

Definição e propriedade importante (explicada passo a passo).
  • Definição: para x\in\mathbb{R} com x\neq0, o inverso multiplicativo de x, denotado por x^{-1}, é o número que satisfaz
x\cdot x^{-1}=1
e também, pela comutatividade da multiplicação em \mathbb{R},
x^{-1}\cdot x=1.
Aqui 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1\cdot y=y para todo y.
  • Propriedade fundamental (unicidade do inverso): se um mesmo número x tem dois candidatos a inverso, digamos u e v, isto é, se
x\cdot u = 1 \quad\text{e}\quad x\cdot v = 1,
então u=v. Prova da unicidade: começando de u temos
u = u\cdot 1 = u\cdot (x\cdot v) = (u\cdot x)\cdot v = 1\cdot v = v,
onde usamos associatividade da multiplicação e que u\cdot x=1. Portanto o inverso é único.

Passo 3

Aplicando a definição ao problema.
  • Seja b:=a^{-1}. Pela definição de inverso temos
a\cdot b = 1
e também
b\cdot a = 1.
  • Agora considere o inverso de b, que existe porque b\neq0 (se a\neq0 então b=a^{-1}\neq0). Pelo que significa ser inverso de b, é o número c tal que
b\cdot c = 1.
Mas observamos que a satisfaz exatamente essa propriedade, pois acabamos de ver que b\cdot a = 1. Logo a é um candidato a inverso de b.

Passo 4

Conclusão usando a unicidade do inverso.
Pelo Passo 2 sabemos que o inverso de b é único. Como a satisfaz b\cdot a=1, concluímos que a é esse inverso único de b. Em notação,
\left(a^{-1}\right)^{-1} = b^{-1} = a.
Isto prova a igualdade pedida. (Exemplo numérico rápido para fixar: se a=2 então a^{-1}=\tfrac{1}{2} e \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{-1}=2.)

Resposta

\left(a^{-1}\right)^{-1}=a

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