Questão 03:
Seja
tal que
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
. O que devemos provar é a igualdade
Informações relevantes dadas:
tem inverso multiplicativo
(pois é não nulo). Não há outras hipóteses.
Passo 2
Definição e propriedade importante (explicada passo a passo).
- Definição: para
com , o inverso multiplicativo de , denotado por , é o número que satisfaz
e também, pela comutatividade da multiplicação em
,
Aqui
é o elemento neutro da multiplicação:
para todo
.
- Propriedade fundamental (unicidade do inverso): se um mesmo número
tem dois candidatos a inverso, digamos e , isto é, se
então
. Prova da unicidade: começando de
temos
onde usamos associatividade da multiplicação e que
. Portanto o inverso é único.
Passo 3
Aplicando a definição ao problema.
- Seja
. Pela definição de inverso temos
e também
- Agora considere o inverso de
, que existe porque (se então ). Pelo que significa ser inverso de , é o número tal que
Mas observamos que
satisfaz exatamente essa propriedade, pois acabamos de ver que
. Logo
é um candidato a inverso de
.
Passo 4
Conclusão usando a unicidade do inverso.
Pelo Passo 2 sabemos que o inverso de é único. Como
satisfaz
, concluímos que
é esse inverso único de
. Em notação,
Pelo Passo 2 sabemos que o inverso de
Isto prova a igualdade pedida. (Exemplo numérico rápido para fixar: se
então
e
.)