QUESTÃO 03 : Sejam
e
. Verifique se é verdade que:
.
Passo 1
O enunciado nos dá três conjuntos em
:
-
. -
. -
.
A pergunta é verificar se a igualdade
é verdadeira. Ou seja, comparar o conjunto diferença
com a interseção
.
Passo 2
Recordando definições (para não deixar nada no ar):
- A interseção de dois conjuntos
e é
- A diferença de conjuntos
menos (também escrita ) é
Vou usar essas definições para comparar os dois lados da igualdade.
Passo 3
Primeiro observe a posição de
na reta real. Sabemos que
logo
Em notação aproximada,
, portanto
.
Passo 4
Calcular
. Como
e
, a interseção é o conjunto de pontos que estão em ambos; geometricamente é o intervalo comum:
Passo 5
Calcular
. Substituindo o resultado do passo anterior:
Como vimos no passo 3,
. Então todo
satisfaz
. Assim nenhum
pertence ao intervalo
. Portanto a diferença não remove nada de
, isto é,
Passo 6
Calcular
. Temos
Mas como
, não há nenhum número que seja simultaneamente
e
. Logo a interseção é vazia:
Passo 7
Comparando os dois lados:
Como
, a igualdade pedida é falsa. Um contraexemplo explícito:
pertence a
(porque
e
), mas
.
Resposta
Não.
.