QUESTÃO 03 : Sejam A=\{x \in \mathbb{R} \mid 3 \leq x \leq 7\}, B=\{x \in \mathbb{R} \mid-1<x<\sqrt{5}\} e C= [0,7]. Verifique se é verdade que:
(A \cap C)-B=A \cap B.

Passo 1

O enunciado nos dá três conjuntos em \mathbb{R}:
  • A=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x\le7\} = [3,7].
  • B=\{x\in\mathbb{R}\mid -1<x<\sqrt{5}\} = (-1,\sqrt{5}).
  • C=[0,7].
A pergunta é verificar se a igualdade
(A\cap C)-B = A\cap B
é verdadeira. Ou seja, comparar o conjunto diferença (A\cap C)\setminus B com a interseção A\cap B.

Passo 2

Recordando definições (para não deixar nada no ar):
  • A interseção de dois conjuntos X e Y é
X\cap Y=\{x\mid x\in X \text{ e } x\in Y\}.
  • A diferença de conjuntos X menos Y (também escrita X\setminus Y) é
X\setminus Y=\{x\mid x\in X \text{ e } x\notin Y\}.
Vou usar essas definições para comparar os dois lados da igualdade.

Passo 3

Primeiro observe a posição de \sqrt{5} na reta real. Sabemos que
2^2=4<5<9=3^2,
logo
2<\sqrt{5}<3.
Em notação aproximada, \sqrt{5}\approx2,236, portanto \sqrt{5}<3.

Passo 4

Calcular A\cap C. Como A=[3,7] e C=[0,7], a interseção é o conjunto de pontos que estão em ambos; geometricamente é o intervalo comum:
A\cap C=[3,7]\cap[0,7]=[3,7].

Passo 5

Calcular (A\cap C)\setminus B. Substituindo o resultado do passo anterior:
(A\cap C)\setminus B=[3,7]\setminus(-1,\sqrt{5}).
Como vimos no passo 3, \sqrt{5}<3. Então todo x\in[3,7] satisfaz x\ge3>\sqrt{5}. Assim nenhum x\in[3,7] pertence ao intervalo ( -1,\sqrt{5}). Portanto a diferença não remove nada de [3,7], isto é,
[3,7]\setminus(-1,\sqrt{5})=[3,7].

Passo 6

Calcular A\cap B. Temos
A\cap B=[3,7]\cap(-1,\sqrt{5}).
Mas como \sqrt{5}<3, não há nenhum número que seja simultaneamente \ge3 e <\sqrt{5}. Logo a interseção é vazia:
A\cap B=\varnothing.

Passo 7

Comparando os dois lados:
(A\cap C)\setminus B=[3,7]\quad\text{e}\quad A\cap B=\varnothing.
Como [3,7]\neq\varnothing, a igualdade pedida é falsa. Um contraexemplo explícito: x=4 pertence a (A\cap C)\setminus B (porque 4\in[3,7] e 4\notin(-1,\sqrt{5})), mas 4\notin A\cap B.

Resposta

Não. (A\cap C)-B=[3,7]\neq\varnothing=A\cap B.

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