QUESTÃO 03 : Simplifique as expressões.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: simplificar a expressão racional
- Informação relevante dada: o numerador é o polinômio
e o denominador é o produto .
O objetivo é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando possível) e explicitar as restrições do domínio (valores de
que anulam o denominador).
Passo 2
Estratégia de resolução (breve aula): como fatorar polinômios.
- Para fatorar um polinômio cúbico
com coeficientes inteiros costuma ser útil o Teorema do Resto / Raiz Racional: qualquer raiz racional deve ter divisor do termo independente e divisor do coeficiente líder. Aqui os candidatos inteiros são divisores de : . - Se encontrarmos uma raiz
tal que , então é um fator e podemos dividir por (por divisão polinomial ou método de Ruffini/sintético) para obter o quociente quadrático, que aí se fatorará normalmente. - Para quadráticos
procuramos dois números cujo produto é e cuja soma é , ou usamos fórmula quadrática.
Aplicaremos isso ao numerador.
Passo 3
Testando possíveis raízes no numerador (vou calcular
porque
é um candidato simples):
Como
,
é um fator. Agora dividimos o polinômio pelo fator
para obter o quociente.
Usando o método sintético (Ruffini) com coeficientes
e raiz
:
- Desço o
. -
; somo a e obtenho . -
; somo a e obtenho . -
; somo a e obtenho (resto).
Portanto a divisão dá quociente
e resto
. Assim
Passo 4
Fatorar o quadrático obtido e o denominador.
- Fatorando
: precisamos de dois números que multiplicam e somam . Esses números são e . Logo
- O fator
do denominador é uma diferença de quadrados:
Assim o denominador inteiro é
Passo 5
Cancelar fatores comuns e discutir domínio.
Substituindo as fatorações no quociente temos
Podemos cancelar os fatores idênticos
e
, desde que lembremos das restrições originais (não podemos atribuir valores que anulam o denominador original). Após cancelamento obtemos a forma simplificada
Importante sobre domínio: a expressão original está indefinida quando o denominador é zero, ou seja, para
(isto é,
) e para
(isto é,
). Mesmo que alguns desses fatores tenham sido cancelados na simplificação algébrica, os pontos
e
continuam sendo exclusões do domínio original (são “buracos” removíveis), e
também é excluído (polo). Portanto a expressão simplificada é equivalente à original apenas para
.
Passo 6
Resumo final e verificação rápida.
- Forma simplificada:
. - Restrições:
.
Verificação rápida com um valor permitido, por exemplo
:
- Original:
- Simplificada:
Confere — bom sinal.