QUESTÃO 03 : Simplifique as expressões.
\frac{x^{3}-5 x^{2}-2 x+24}{\left(x^{2}-4\right)(x-3)}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: simplificar a expressão racional
\frac{x^{3}-5 x^{2}-2 x+24}{\left(x^{2}-4\right)(x-3)}.
  • Informação relevante dada: o numerador é o polinômio \,x^{3}-5x^{2}-2x+24 e o denominador é o produto \,(x^{2}-4)(x-3).
O objetivo é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando possível) e explicitar as restrições do domínio (valores de x que anulam o denominador).

Passo 2

Estratégia de resolução (breve aula): como fatorar polinômios.
  • Para fatorar um polinômio cúbico P(x) com coeficientes inteiros costuma ser útil o Teorema do Resto / Raiz Racional: qualquer raiz racional \frac{p}{q} deve ter p divisor do termo independente e q divisor do coeficiente líder. Aqui os candidatos inteiros são divisores de 24: \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24.
  • Se encontrarmos uma raiz r tal que P(r)=0, então (x-r) é um fator e podemos dividir P(x) por (x-r) (por divisão polinomial ou método de Ruffini/sintético) para obter o quociente quadrático, que aí se fatorará normalmente.
  • Para quadráticos ax^2+bx+c procuramos dois números cujo produto é ac e cuja soma é b, ou usamos fórmula quadrática.
Aplicaremos isso ao numerador.

Passo 3

Testando possíveis raízes no numerador (vou calcular P(3) porque 3 é um candidato simples):
P(3)=3^{3}-5\cdot3^{2}-2\cdot3+24 = 27-45-6+24 = 0.
Como P(3)=0, (x-3) é um fator. Agora dividimos o polinômio pelo fator (x-3) para obter o quociente.
Usando o método sintético (Ruffini) com coeficientes 1,\,-5,\,-2,\,24 e raiz 3:
  • Desço o 1.
  • 1\times3=3; somo a -5 e obtenho -2.
  • -2\times3=-6; somo a -2 e obtenho -8.
  • -8\times3=-24; somo a 24 e obtenho 0 (resto).
Portanto a divisão dá quociente x^{2}-2x-8 e resto 0. Assim
x^{3}-5x^{2}-2x+24=(x-3)\bigl(x^{2}-2x-8\bigr).

Passo 4

Fatorar o quadrático obtido e o denominador.
  • Fatorando x^{2}-2x-8: precisamos de dois números que multiplicam -8 e somam -2. Esses números são -4 e +2. Logo
x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2).
  • O fator x^{2}-4 do denominador é uma diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Assim o denominador inteiro é
\bigl(x^{2}-4\bigr)(x-3)=(x-2)(x+2)(x-3).

Passo 5

Cancelar fatores comuns e discutir domínio.
Substituindo as fatorações no quociente temos
\frac{x^{3}-5x^{2}-2x+24}{(x^{2}-4)(x-3)} = \frac{(x-3)(x-4)(x+2)}{(x-3)(x-2)(x+2)}.
Podemos cancelar os fatores idênticos (x-3) e (x+2), desde que lembremos das restrições originais (não podemos atribuir valores que anulam o denominador original). Após cancelamento obtemos a forma simplificada
\frac{x-4}{x-2}.
Importante sobre domínio: a expressão original está indefinida quando o denominador é zero, ou seja, para \,x^{2}-4=0 (isto é, x=\pm2) e para x-3=0 (isto é, x=3). Mesmo que alguns desses fatores tenham sido cancelados na simplificação algébrica, os pontos x=-2 e x=3 continuam sendo exclusões do domínio original (são “buracos” removíveis), e x=2 também é excluído (polo). Portanto a expressão simplificada é equivalente à original apenas para x\neq -2,2,3.

Passo 6

Resumo final e verificação rápida.
  • Forma simplificada: \dfrac{x-4}{x-2}.
  • Restrições: x\neq -2,\\\ 2,\\\ 3.
Verificação rápida com um valor permitido, por exemplo x=0:
  • Original: \dfrac{0-0-0+24}{(0-4)(0-3)}=\dfrac{24}{(-4)(-3)}=\dfrac{24}{12}=2.
  • Simplificada: \dfrac{0-4}{0-2}=\dfrac{-4}{-2}=2.
    Confere — bom sinal.

Resposta

\dfrac{x-4}{x-2},\;x\neq -2,2,3

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