QUESTÃO 02 : Encontre o domínio f(x)=\frac{\sqrt{8 x+1}}{\sqrt{x^{3}-4 x^{2}+5 x-20}}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{8x+1}}{\sqrt{x^{3}-4x^{2}+5x-20}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \sqrt{8x+1}.
  • O denominador é \sqrt{x^{3}-4x^{2}+5x-20}.
  • Deve-se garantir que a expressão esteja bem definida (sem raízes de índice par com radicando negativo e sem divisão por zero).

Passo 2

Condições que a variável x deve satisfazer (explicação didática):
  • Regra para raiz quadrada (índice par): o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, se tivermos \sqrt{g(x)} então é necessário g(x)\ge 0.
  • Regra adicional quando a raiz quadrada aparece no denominador: além de exigir o radicando não-negativo, não é permitido que o denominador seja zero (pois divisão por zero é indefinida). Assim, se tivermos \dfrac{1}{\sqrt{h(x)}} é necessário h(x)>0 (estritamente positivo).
    Aplicando essas regras ao nosso caso:
  • Para o numerador: exigir 8x+1\ge 0.
  • Para o denominador: exigir x^{3}-4x^{2}+5x-20>0.

Passo 3

Resolver a condição do numerador 8x+1\ge 0.
8x+1\ge 0
Subtraindo 1 dos dois lados:
8x \ge -1
Dividindo por 8 (positiva, sinal mantido):
x \ge -\dfrac{1}{8}.
Portanto o numerador permite x\in\left[-\dfrac{1}{8},\infty\right).

Passo 4

Resolver a condição do denominador x^{3}-4x^{2}+5x-20>0.
Primeiro verificar se o polinômio tem raízes simples que permitam fatorá‑lo. Testando x=4:
4^{3}-4\cdot4^{2}+5\cdot4-20 = 64-64+20-20 = 0,
logo x=4 é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por (x-4) obtém-se o quociente x^{2}+5. Assim
x^{3}-4x^{2}+5x-20 = (x-4)(x^{2}+5).
Observação sobre x^{2}+5: para todo real x tem-se x^{2}\ge 0, então
x^{2}+5 \ge 5 >0,
portanto x^{2}+5 é sempre positivo (para todo x\in\mathbb{R}). Assim o sinal do produto (x-4)(x^{2}+5) é o mesmo do fator (x-4). Para que o produto seja estritamente positivo precisamos de
x-4>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>4.
Portanto a condição do denominador é x>4.

Passo 5

Interseção das condições (o domínio é a interseção das permissões do numerador e do denominador):
  • Numerador permite x\ge -\dfrac{1}{8}.
  • Denominador exige x>4.
    A interseção é simplesmente x>4 (pois todo x>4 já satisfaz x\ge -\dfrac{1}{8}). Além disso, x=4 está excluído porque anula o radicando do denominador (divisão por zero).

Resposta

(4,\infty)

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