QUESTÃO 02 : Encontre o domínio
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Deve-se garantir que a expressão esteja bem definida (sem raízes de índice par com radicando negativo e sem divisão por zero).
Passo 2
Condições que a variável
deve satisfazer (explicação didática):
- Regra para raiz quadrada (índice par): o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, se tivermos
então é necessário . - Regra adicional quando a raiz quadrada aparece no denominador: além de exigir o radicando não-negativo, não é permitido que o denominador seja zero (pois divisão por zero é indefinida). Assim, se tivermos
é necessário (estritamente positivo).
Aplicando essas regras ao nosso caso: - Para o numerador: exigir
. - Para o denominador: exigir
.
Passo 3
Resolver a condição do numerador
.
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
(positiva, sinal mantido):
Portanto o numerador permite
.
Passo 4
Resolver a condição do denominador
.
Primeiro verificar se o polinômio tem raízes simples que permitam fatorá‑lo. Testando :
Primeiro verificar se o polinômio tem raízes simples que permitam fatorá‑lo. Testando
logo
é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por
obtém-se o quociente
. Assim
Observação sobre
: para todo real
tem-se
, então
portanto
é sempre positivo (para todo
). Assim o sinal do produto
é o mesmo do fator
. Para que o produto seja estritamente positivo precisamos de
Portanto a condição do denominador é
.
Passo 5
Interseção das condições (o domínio é a interseção das permissões do numerador e do denominador):
- Numerador permite
. - Denominador exige
.
A interseção é simplesmente(pois todo já satisfaz ). Além disso, está excluído porque anula o radicando do denominador (divisão por zero).