QUESTÃO 03 : Simplifique as expressões.
\frac{2 x^{2}-14 x-36}{\left(x^{3}-8\right)\left(x^{2}-81\right)}.

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão racional dada.
Informação dada (a expressão a simplificar):
\frac{2 x^{2}-14 x-36}{\left(x^{3}-8\right)\left(x^{2}-81\right)}.
Vou listar os fatores possíveis que aparecem no numerador e no denominador para poder simplificar (cancelar fatores comuns) — sem resolver nada ainda.

Passo 2

Fatorar o numerador passo a passo. Primeiro, tirar fator comum em 2x^{2}-14x-36:
2 x^{2}-14 x-36 = 2\bigl(x^{2}-7x-18\bigr).
Agora fatorar a quadrática \,x^{2}-7x-18. Procuro dois números cuja soma seja -7 e cujo produto seja -18. Esses números são -9 e 2, pois
-9 + 2 = -7,\qquad (-9)\cdot 2 = -18.
Logo a fatoração é
x^{2}-7x-18 = (x-9)(x+2).
Portanto o numerador fatorado fica
2 x^{2}-14 x-36 = 2(x-9)(x+2).

Passo 3

Fatorar o denominador em duas partes.
Parte 1: fatorar x^{3}-8. Usar a fórmula da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Tomando a=x e b=2, obtemos
x^{3}-8 = (x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).
Parte 2: fatorar x^{2}-81. É diferença de quadrados, usar a fórmula
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Com a=x e b=9,
x^{2}-81=(x-9)(x+9).
Multiplicando as duas partes do denominador:
\left(x^{3}-8\right)\left(x^{2}-81\right)=(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)(x-9)(x+9).

Passo 4

Escrever a expressão inteira com todos os fatores e cancelar fatores comuns quando possível:
\frac{2 x^{2}-14 x-36}{\left(x^{3}-8\right)\left(x^{2}-81\right)} = \frac{2(x-9)(x+2)}{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)(x-9)(x+9)}.
Aqui aparece o fator comum (x-9) no numerador e no denominador. Pela regra de simplificação de frações racionais, pode-se cancelar um fator comum diferente de zero, obtendo
\frac{2(x+2)}{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)(x+9)},
desde que o fator cancelado não torne a expressão originalmente indefinida.

Passo 5

Determinar as restrições na variável (valores proibidos pelo denominador original). O denominador original anula-se quando qualquer um dos fatores é zero:
x^{3}-8=0\implies x=2,
x^{2}-81=0\implies x=9\\ \text{ou}\\ x=-9.
Portanto x não pode ser 2, 9 nem -9. Observação: a quadrática \,x^{2}+2x+4 tem discriminante
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot4 = 4-16 = -12,
ou seja, não tem raízes reais (logo não introduz novas restrições reais), mas continua sendo um fator do denominador. Ao cancelar (x-9) cuidamos para lembrar que x=9 permanece excluído do domínio original.

Resposta

\frac{2(x+2)}{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)(x+9)},\qquad x\neq 2,\\\ 9,\\\ -9

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