Questão 03 - A velocidade de um móvel em movimento retilíneo é dada por
. Sabendo que esse móvel parte da posição
, ou seja,
, e que
é a função horária da aceleração desse móvel, determine:
a. As funções horárias da posição e da aceleração;
b. A posição, a velocidade e a aceleração no instante
;
c. A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
e
(se/quando necessário use
a. As funções horárias da posição e da aceleração;
b. A posição, a velocidade e a aceleração no instante
c. A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pedidos (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
- Dado: a velocidade horária do móvel é
. - Também diz que
. - Diz ainda que
é a função horária da aceleração (ou seja, a aceleração pode depender do tempo). - Pedidos:
a) Determinar as funções horárias da posição e da aceleração.
b) Calcular a posição, a velocidade e a aceleração no instante.
c) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre os instantese . - Notação útil:
.
Observação importante (já deixo avisado): o enunciado mistura duas formas de escrever a velocidade. Uma é
(que é a expressão clássica para aceleração constante
). Outra afirma que
(ou seja, aceleração variável). Para cobrir os dois jeitos que podem aparecer numa prova, vou resolver o caso geral em que a aceleração é uma função
e depois mostrar a forma especial quando
é constante (a forma mais comum e rápida).
Passo 2
Conceitos fundamentais (aulas rápidas, mas essenciais) — sem pular passos:
- Definição de aceleração: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmulas,
Isto significa que, se você conhece
, basta derivar para achar
.
- Definição de velocidade como derivada da posição: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Isso significa que, se você conhece
, derivando obtém
.
- Integral e posição: se você conhece a velocidade, pode recuperar a posição integrando:
Aqui uso
como variável de integração (para não confundir com o limite
). A interpretação física: a posição inicial
mais a área sob a curva velocidade versus tempo até
.
- Relação entre velocidade e aceleração por integração: integrando a aceleração obtém-se a variação de velocidade:
Novamente
é o parâmetro de integração.
Essas quatro fórmulas são a nossa caixa de ferramentas. Vou aplicá-las ao enunciado.
Passo 3
Caso geral (aceleração variável
). Primeiro encontremos a aceleração a partir da velocidade geral.
- Se interpretarmos que a relação correta entre velocidade e aceleração é a integral
então, por diferenciação, a aceleração horária é simplesmente
Aplicando a derivada em
acima obtemos (por construção)
Isto é apenas a consistência da definição: a aceleração é a função dada
. Em outras palavras, no caso geral a aceleração já está conhecida como
.
- Agora a posição
: usar a fórmula de integração da velocidade:
Substituindo
(aqui usei
como variável interna para não confundir) temos
Separando termos:
A primeira integral é fácil:
A segunda é uma integral dupla que podemos simplificar trocando a ordem de integração (explico a técnica): a integral
é igual a
ao trocar a ordem (essa troca é um truque padrão: para cada
entre
e
,
varia de
a
). A integral interna
. Assim obtemos
Mudando
para
de novo (nome da variável de integração é irrelevante), escrevemos
Portanto a expressão final para a posição, no caso geral, é
Essa é uma forma bem prática: dá a posição em função da aceleração arbitrária
.
Resumo do caso geral:
Passo 4
Caso especial (aceleração constante
). Agora o caso mais comum na prova:
constante. Aí as integrais ficam bem simples.
- Velocidade:
(que é exatamente a fórmula dada no enunciado quando
é constante).
- Posição:
Como
é constante, tira-se
para fora da integral:
Calcule a integral:
Logo
Portanto, para aceleração constante:
Passo 5
Valores no instante
.
-
Caso geral
variável: - Aceleração no instante:
- Velocidade:
- Posição:
-
Caso constante
: - Aceleração:
. - Velocidade:
- Posição:
- Aceleração:
Passo 6
Velocidade média e aceleração média entre
e
.
- Definição de velocidade média: é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo:
Usando a expressão integral de
no caso geral, uma forma útil é expressar a velocidade média como média temporal da velocidade:
Substituindo
dá uma expressão em termos de
, mas a forma compacta e prática para prova é
No caso de aceleração constante
, podemos obter uma expressão explícita usando as fórmulas fechadas:
então
Dividindo por
e usando
resulta
Uma outra forma muito conhecida, equivalente, é que para aceleração constante a velocidade média também é a média aritmética das velocidades nos extremos:
Isso acontece porque
é linear em
quando
é constante.
- Definição de aceleração média: é a variação de velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
No caso geral, usando
, isso é igual a
ou seja, a aceleração média é a média temporal da função
. No caso constante,
Passo 7
Recapitulando com foco naquilo que você provavelmente precisa decorar para a prova:
-
Caso geral (aceleração arbitrária
): -
. -
. - Valores em
: , , . - Velocidade média:
. - Aceleração média:
.
-
-
Caso constante
: -
. -
. - Em
: , , . - Velocidade média entre
e : . - Aceleração média:
.
-
Força, você já está indo bem — com essas fórmulas e a manipulação das integrais você resolve qualquer variação desse tipo que cair na prova. Agora vou só deixar as respostas finais organizadas.
Resposta
a. Caso geral (aceleração
arbitrária):
,
,
.
a. Caso especial (aceleração constante ):
,
,
.
a. Caso especial (aceleração constante
b. Caso geral:
,
,
.
b. Caso constante: ,
,
.
b. Caso constante:
c. Caso geral:
,
.
c. Caso constante: ,
.
c. Caso constante: