Questão 03 - A velocidade de um móvel em movimento retilíneo é dada por v=v(t)=v_{0}+a t. Sabendo que esse móvel parte da posição x_{0}, ou seja, x(0)=x_{0}, e que a=a(t) é a função horária da aceleração desse móvel, determine:
a. As funções horárias da posição e da aceleração;
b. A posição, a velocidade e a aceleração no instante t=t_{1};
c. A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t_{1} e t_{2} (se/quando necessário use \Delta t= \left.t_{2}-t_{1}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pedidos (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
  • Dado: a velocidade horária do móvel é v=v(t)=v_{0}+a\,t.
  • Também diz que x(0)=x_{0}.
  • Diz ainda que a=a(t) é a função horária da aceleração (ou seja, a aceleração pode depender do tempo).
  • Pedidos:
    a) Determinar as funções horárias da posição e da aceleração.
    b) Calcular a posição, a velocidade e a aceleração no instante t=t_{1}.
    c) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre os instantes t_{1} e t_{2}.
  • Notação útil: \Delta t = t_{2}-t_{1}.
Observação importante (já deixo avisado): o enunciado mistura duas formas de escrever a velocidade. Uma é v(t)=v_{0}+a\,t (que é a expressão clássica para aceleração constante a). Outra afirma que a=a(t) (ou seja, aceleração variável). Para cobrir os dois jeitos que podem aparecer numa prova, vou resolver o caso geral em que a aceleração é uma função a(t) e depois mostrar a forma especial quando a é constante (a forma mais comum e rápida).

Passo 2

Conceitos fundamentais (aulas rápidas, mas essenciais) — sem pular passos:
  • Definição de aceleração: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmulas,
a(t)=\frac{d}{dt}v(t).
Isto significa que, se você conhece v(t), basta derivar para achar a(t).
  • Definição de velocidade como derivada da posição: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{d}{dt}x(t).
Isso significa que, se você conhece x(t), derivando obtém v(t).
  • Integral e posição: se você conhece a velocidade, pode recuperar a posição integrando:
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} v(s)\,ds.
Aqui uso s como variável de integração (para não confundir com o limite t). A interpretação física: a posição inicial x(0) mais a área sob a curva velocidade versus tempo até t.
  • Relação entre velocidade e aceleração por integração: integrando a aceleração obtém-se a variação de velocidade:
v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(s)\,ds.
Novamente s é o parâmetro de integração.
Essas quatro fórmulas são a nossa caixa de ferramentas. Vou aplicá-las ao enunciado.

Passo 3

Caso geral (aceleração variável a(t)). Primeiro encontremos a aceleração a partir da velocidade geral.
  • Se interpretarmos que a relação correta entre velocidade e aceleração é a integral
v(t)=v_{0}+\int_{0}^{t} a(s)\,ds,
então, por diferenciação, a aceleração horária é simplesmente
a(t)=\frac{d}{dt}v(t).
Aplicando a derivada em v(t) acima obtemos (por construção)
a(t)=a(t).
Isto é apenas a consistência da definição: a aceleração é a função dada a(t). Em outras palavras, no caso geral a aceleração já está conhecida como a(t).
  • Agora a posição x(t): usar a fórmula de integração da velocidade:
x(t)=x_{0}+\int_{0}^{t} v(s)\,ds.
Substituindo v(s)=v_{0}+\int_{0}^{s} a(u)\,du (aqui usei u como variável interna para não confundir) temos
x(t)=x_{0}+\int_{0}^{t}\left[v_{0}+\int_{0}^{s} a(u)\,du\right] ds.
Separando termos:
x(t)=x_{0}+\int_{0}^{t} v_{0}\,ds+\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s} a(u)\,du\right) ds.
A primeira integral é fácil:
\int_{0}^{t} v_{0}\,ds = v_{0}t.
A segunda é uma integral dupla que podemos simplificar trocando a ordem de integração (explico a técnica): a integral
\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s} a(u)\,du\right) ds
é igual a
\int_{0}^{t}\left(\int_{u}^{t} ds\right) a(u)\,du
ao trocar a ordem (essa troca é um truque padrão: para cada u entre 0 e t, s varia de u a t). A integral interna \int_{u}^{t} ds = t-u. Assim obtemos
\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s} a(u)\,du\right) ds = \int_{0}^{t} (t-u)\,a(u)\,du.
Mudando u para s de novo (nome da variável de integração é irrelevante), escrevemos
\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s} a(u)\,du\right) ds = \int_{0}^{t} (t-s)\,a(s)\,ds.
Portanto a expressão final para a posição, no caso geral, é
\boxed{\,x(t)=x_{0}+v_{0}t+\int_{0}^{t} (t-s)\,a(s)\,ds\,.}
Essa é uma forma bem prática: dá a posição em função da aceleração arbitrária a(s).
Resumo do caso geral:
\boxed{a(t)=a(t),\qquad x(t)=x_{0}+v_{0}t+\int_{0}^{t} (t-s)\,a(s)\,ds,\qquad v(t)=v_{0}+\int_{0}^{t} a(s)\,ds.}

Passo 4

Caso especial (aceleração constante a). Agora o caso mais comum na prova: a(t)=a constante. Aí as integrais ficam bem simples.
  • Velocidade:
v(t)=v_{0}+\int_{0}^{t} a\,ds = v_{0}+a\,t.
(que é exatamente a fórmula dada no enunciado quando a é constante).
  • Posição:
x(t)=x_{0}+v_{0}t+\int_{0}^{t} (t-s)\,a\,ds.
Como a é constante, tira-se a para fora da integral:
\int_{0}^{t} (t-s)\,a\,ds = a\int_{0}^{t} (t-s)\,ds.
Calcule a integral:
\int_{0}^{t} (t-s)\,ds = \left[ts-\frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{t} = t^{2}-\frac{t^{2}}{2}=\frac{t^{2}}{2}.
Logo
x(t)=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}a\,t^{2}.
Portanto, para aceleração constante:
\boxed{\,a(t)=a,\qquad v(t)=v_{0}+a\,t,\qquad x(t)=x_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}\,.}

Passo 5

Valores no instante t=t_{1}.
  • Caso geral a(t) variável:
    • Aceleração no instante:
    a(t_{1})=a(t_{1})\quad\text{(a função dada avaliada em \(t_{1}\)).}çã
    • Velocidade:
    v(t_{1})=v_{0}+\int_{0}^{t_{1}} a(s)\,ds.
    • Posição:
    x(t_{1})=x_{0}+v_{0}t_{1}+\int_{0}^{t_{1}} (t_{1}-s)\,a(s)\,ds.
  • Caso constante a:
    • Aceleração: a(t_{1})=a.
    • Velocidade:
    v(t_{1})=v_{0}+a\,t_{1}.
    • Posição:
    x(t_{1})=x_{0}+v_{0}t_{1}+\tfrac{1}{2}a\,t_{1}^{2}.

Passo 6

Velocidade média e aceleração média entre t_{1} e t_{2}.
  • Definição de velocidade média: é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo:
\overline{v}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{\Delta t}.
Usando a expressão integral de x(t) no caso geral, uma forma útil é expressar a velocidade média como média temporal da velocidade:
\overline{v}=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt.
Substituindo v(t)=v_{0}+\int_{0}^{t} a(s)\,ds dá uma expressão em termos de a(s), mas a forma compacta e prática para prova é
\boxed{\,\overline{v}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt\,.}
No caso de aceleração constante a, podemos obter uma expressão explícita usando as fórmulas fechadas:
x(t)=x_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2},
então
x(t_{2})-x(t_{1})=v_{0}(t_{2}-t_{1})+\tfrac{1}{2}a\left(t_{2}^{2}-t_{1}^{2}\right).
Dividindo por \Delta t e usando t_{2}^{2}-t_{1}^{2}=(t_{2}-t_{1})(t_{2}+t_{1}) resulta
\overline{v}=v_{0}+\tfrac{1}{2}a\,(t_{2}+t_{1}).
Uma outra forma muito conhecida, equivalente, é que para aceleração constante a velocidade média também é a média aritmética das velocidades nos extremos:
\overline{v}=\frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2}.
Isso acontece porque v(t) é linear em t quando a é constante.
  • Definição de aceleração média: é a variação de velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
\overline{a}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{\Delta t}.
No caso geral, usando v(t)=v_{0}+\int_{0}^{t} a(s)\,ds, isso é igual a
\overline{a}=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_{1}}^{t_{2}} a(t)\,dt,
ou seja, a aceleração média é a média temporal da função a(t). No caso constante,
\overline{a}=a.

Passo 7

Recapitulando com foco naquilo que você provavelmente precisa decorar para a prova:
  • Caso geral (aceleração arbitrária a(t)):
    • v(t)=v_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t} a(s)\,ds.
    • x(t)=x_{0}+v_{0}t+\displaystyle\int_{0}^{t} (t-s)\,a(s)\,ds.
    • Valores em t_{1}: v(t_{1})=v_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t_{1}} a(s)\,ds, x(t_{1})=x_{0}+v_{0}t_{1}+\displaystyle\int_{0}^{t_{1}} (t_{1}-s)\,a(s)\,ds, a(t_{1})=a(t_{1}).
    • Velocidade média: \overline{v}=\dfrac{1}{\Delta t}\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt.
    • Aceleração média: \overline{a}=\dfrac{1}{\Delta t}\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} a(t)\,dt.
  • Caso constante a:
    • v(t)=v_{0}+a\,t.
    • x(t)=x_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}.
    • Em t_{1}: v(t_{1})=v_{0}+a\,t_{1}, x(t_{1})=x_{0}+v_{0}t_{1}+\tfrac{1}{2}a\,t_{1}^{2}, a(t_{1})=a.
    • Velocidade média entre t_{1} e t_{2}: \overline{v}=v_{0}+\tfrac{1}{2}a\,(t_{1}+t_{2})=\dfrac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2}.
    • Aceleração média: \overline{a}=a.
Força, você já está indo bem — com essas fórmulas e a manipulação das integrais você resolve qualquer variação desse tipo que cair na prova. Agora vou só deixar as respostas finais organizadas.

Resposta

a. Caso geral (aceleração a(t) arbitrária): a(t)=a(t), v(t)=v_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t} a(s)\,ds, x(t)=x_{0}+v_{0}t+\displaystyle\int_{0}^{t} (t-s)\,a(s)\,ds.
a. Caso especial (aceleração constante a): a(t)=a, v(t)=v_{0}+a\,t, x(t)=x_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}.
b. Caso geral: x(t_{1})=x_{0}+v_{0}t_{1}+\displaystyle\int_{0}^{t_{1}} (t_{1}-s)\,a(s)\,ds, v(t_{1})=v_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t_{1}} a(s)\,ds, a(t_{1})=a(t_{1}).
b. Caso constante: x(t_{1})=x_{0}+v_{0}t_{1}+\tfrac{1}{2}a\,t_{1}^{2}, v(t_{1})=v_{0}+a\,t_{1}, a(t_{1})=a.
c. Caso geral: \overline{v}=\dfrac{x(t_{2})-x(t_{1})}{\Delta t}=\dfrac{1}{\Delta t}\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt, \overline{a}=\dfrac{v(t_{2})-v(t_{1})}{\Delta t}=\dfrac{1}{\Delta t}\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} a(t)\,dt.
c. Caso constante: \overline{v}=v_{0}+\tfrac{1}{2}a\,(t_{1}+t_{2})=\dfrac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2}, \overline{a}=a.

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