Questão 04 - Calcule o trabalho realizado pela força \vec{F}(x, y, z)=2 y \vec{\imath}+ x^{2} \vec{j}+x z \vec{k} ao longo da curva C , parametrizada por \vec{r}(t)=(2 t, 3 t, 3 t), \operatorname{com} 0 \leq \mathrm{t} \leq 3.

Passo 1

O enunciado dá a força e a curva paramétrica e pede o trabalho realizado pela força ao longo dessa curva. Informações importantes que temos:
  • A força é \vec{F}(x,y,z)=2y\,\vec{\imath}+x^{2}\,\vec{\jmath}+x z\,\vec{k}.
  • A curva C é dada pela parametrização \vec{r}(t)=(2t,\,3t,\,3t) com 0\le t\le 3.
  • O que é pedido: o trabalho realizado por \vec{F} ao longo de C, isto é, o valor numérico do integral de linha (o trabalho).

Passo 2

Lembrete didático: “trabalho” de uma força ao longo de uma trajetória é o integral de linha do produto escalar entre a força e o vetor diferencial de deslocamento. Em forma paramétrica, se \vec{r}(t) parametriza C, então
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t=a}^{t=b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui cada símbolo significa:
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é a força avaliada nos pontos da curva (substituímos x,y,z pelas componentes da \vec{r}(t)).
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização, que dá a velocidade (vetor tangente) ao longo da curva.
  • O produto escalar \cdot multiplica componente a componente e soma: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
    Exemplo rápido: (1,2,3)\cdot(4,5,6)=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=4+10+18=32. Isso é só pra fixar o que é o produto escalar.

Passo 3

Calculamos \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente:
\vec{r}(t)=(2t,\,3t,\,3t)\quad\Rightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=(2,\,3,\,3).
Explicação: derivada de 2t em relação a t é 2, de 3t é 3, etc. Note que \vec{r}\,'(t) aqui é constante pois a parametrização é linear.

Passo 4

Agora avaliamos \vec{F} ao longo da curva, substituindo x=2t, y=3t, z=3t:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(2y,\;x^{2},\;x z\bigr)\Big|_{(x,y,z)=(2t,3t,3t)} =\bigl(2\cdot(3t),\;(2t)^{2},\;(2t)\cdot(3t)\bigr).
Simplificando:
\vec{F}(\vec{r}(t))=(6t,\;4t^{2},\;6t^{2}).

Passo 5

Fazemos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t). Usamos a definição do produto escalar: multiplicar as componentes correspondentes e somar:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)= (6t,\,4t^{2},\,6t^{2})\cdot(2,\,3,\,3).
Calculando termo a termo:
6t\cdot 2 + 4t^{2}\cdot 3 + 6t^{2}\cdot 3 = 12t + 12t^{2} + 18t^{2}.
Somando os termos semelhantes em t^{2}:
12t + (12t^{2}+18t^{2}) = 12t + 30t^{2}.
Esse é o integrando do nosso integral em t.

Passo 6

Montamos o integral para o trabalho usando os limites de t dados ( 0 a 3):
W=\int_{0}^{3}\bigl(12t + 30t^{2}\bigr)\,dt.
Comentário: integrando polinômios é direto — usamos as regras básicas de antiderivação.

Passo 7

Calculemos a primitiva (antiderivada) de cada termo:
  • A antiderivada de 12t é 6t^{2}, porque \frac{d}{dt}(6t^{2})=12t.
  • A antiderivada de 30t^{2} é 10t^{3}, porque \frac{d}{dt}(10t^{3})=30t^{2}.
    Então uma primitiva do integrando é 6t^{2}+10t^{3}. Avaliando dos limites 0 até 3:
W=\Bigl[6t^{2}+10t^{3}\Bigr]_{0}^{3}= \bigl(6\cdot 3^{2}+10\cdot 3^{3}\bigr) - \bigl(6\cdot 0^{2}+10\cdot 0^{3}\bigr).
Calculando os valores:
6\cdot 3^{2}=6\cdot 9=54,\qquad 10\cdot 3^{3}=10\cdot 27=270.
Somando:
54+270=324.

Passo 8

Interpretação final: o trabalho realizado pela força \vec{F} ao longo da curva C (com a orientação dada pela parametrização) é 324. Respire fundo — mesmo parecendo muita conta, foi só seguir passo a passo: parametrizar, substituir, calcular produto escalar, integrar.

Resposta

324

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