Questão 04 - Calcule o trabalho realizado pela força \vec{F}(x, y, z)=2 y \vec{\imath}+ x^{2} \vec{j}+x z \vec{k} ao longo da curva C , parametrizada por \vec{r}(t)=(2 t, 3 t, 3 t), \operatorname{com} 0 \leq \mathrm{t} \leq 3.
Passo 1
O enunciado dá a força e a curva paramétrica e pede o trabalho realizado pela força ao longo dessa curva. Informações importantes que temos:
A força é \vec{F}(x,y,z)=2y\,\vec{\imath}+x^{2}\,\vec{\jmath}+x z\,\vec{k}.
A curva C é dada pela parametrização \vec{r}(t)=(2t,\,3t,\,3t) com 0\le t\le 3.
O que é pedido: o trabalho realizado por \vec{F} ao longo de C, isto é, o valor numérico do integral de linha (o trabalho).
Passo 2
Lembrete didático: “trabalho” de uma força ao longo de uma trajetória é o integral de linha do produto escalar entre a força e o vetor diferencial de deslocamento. Em forma paramétrica, se \vec{r}(t) parametriza C, então
\vec{F}(\vec{r}(t)) é a força avaliada nos pontos da curva (substituímos x,y,z pelas componentes da \vec{r}(t)).
\vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização, que dá a velocidade (vetor tangente) ao longo da curva.
O produto escalar \cdot multiplica componente a componente e soma: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Exemplo rápido: (1,2,3)\cdot(4,5,6)=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=4+10+18=32. Isso é só pra fixar o que é o produto escalar.
Passo 3
Calculamos \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente:
Fazemos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t). Usamos a definição do produto escalar: multiplicar as componentes correspondentes e somar:
Montamos o integral para o trabalho usando os limites de t dados (0 a 3):
W=\int_{0}^{3}\bigl(12t + 30t^{2}\bigr)\,dt.
Comentário: integrando polinômios é direto — usamos as regras básicas de antiderivação.
Passo 7
Calculemos a primitiva (antiderivada) de cada termo:
A antiderivada de 12t é 6t^{2}, porque \frac{d}{dt}(6t^{2})=12t.
A antiderivada de 30t^{2} é 10t^{3}, porque \frac{d}{dt}(10t^{3})=30t^{2}.
Então uma primitiva do integrando é 6t^{2}+10t^{3}. Avaliando dos limites 0 até 3:
Interpretação final: o trabalho realizado pela força \vec{F} ao longo da curva C (com a orientação dada pela parametrização) é 324. Respire fundo — mesmo parecendo muita conta, foi só seguir passo a passo: parametrizar, substituir, calcular produto escalar, integrar.