Questão 02 - Calcule a integral de linha \int_{C}\left(x y+z^{3}\right) d s de (1,0,0) a (-1,0, \pi) ao longo da hélice C , que é representada pelas equações paramétricas x=\cos t, y=\operatorname{sen} t ; z=t ; \operatorname{com} 0 \leq t \leq \pi . \quad \boldsymbol{R}: \frac{\sqrt{\mathbf{2}} \cdot \boldsymbol{\pi}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{4}}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral de linha
\int_{C}\left(xy+z^{3}\right)\,ds
ao longo da hélice C dada pelas equações paramétricas
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad z=t,
com o parâmetro variando em 0\le t\le \pi. O ponto inicial (1,0,0) corresponde a t=0 e o ponto final (-1,0,\pi) corresponde a t=\pi. Essas são todas as informações fornecidas.

Passo 2

Fórmula prática que vamos usar (aqui é a “aula rápida”): se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para a\le t\le b, e temos uma função escalar f(x,y,z), então a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt.
Explicando cada coisa: \mathbf{r}'(t) é o vetor derivada \big(x'(t),y'(t),z'(t)\big) e \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é a sua norma dada por
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}+\big(z'(t)\big)^{2}}.
Ou seja, para aplicar a fórmula substituímos a parametrização na função e multiplicamos pelo fator de alongamento \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|.

Passo 3

Escrevemos a parametrização vetorial e calculamos a derivada:
\mathbf{r}(t)=\big(\cos t,\\ \sin t,\\ t\big).
Derivando componente a componente temos
\mathbf{r}'(t)=\big(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 1\big).

Passo 4

Calculamos a norma de \mathbf{r}'(t):
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observe que aqui o fator de alongamento é constante ao longo da hélice: \sqrt{2}.

Passo 5

Substituímos a parametrização na função integranda f(x,y,z)=xy+z^{3}. Temos
x(t)y(t)=\cos t\cdot\sin t=\tfrac{1}{2}\sin(2t)
e
z(t)^{3}=t^{3}.
Portanto
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=\tfrac{1}{2}\sin(2t)+t^{3}.

Passo 6

Montamos a integral de linha usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}\big(xy+z^{3}\big)\,ds=\int_{0}^{\pi}\Big(\tfrac{1}{2}\sin(2t)+t^{3}\Big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt.
Como \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{2} (constante), isso vira
\int_{0}^{\pi}\Big(\tfrac{1}{2}\sin(2t)+t^{3}\Big)\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\left(\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt+\int_{0}^{\pi}t^{3}\,dt\right).

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente.
  1. Para a parte trigonométrica:
\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt
uma primitiva é -\tfrac{1}{2}\cos(2t). Avaliando em 0 e \pi:
\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt=\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\Big]_{0}^{\pi} =-\tfrac{1}{2}\big(\cos(2\pi)-\cos 0\big)=-\tfrac{1}{2}(1-1)=0.
Logo a contribuição da \sin(2t) é nula.
  1. Para a parte polinomial:
\int_{0}^{\pi}t^{3}\,dt=\Big[\tfrac{t^{4}}{4}\Big]_{0}^{\pi}=\tfrac{\pi^{4}}{4}.

Passo 8

Substituindo os resultados no passo anterior na expressão do Passo 6:
\int_{C}\big(xy+z^{3}\big)\,ds=\sqrt{2}\left(\tfrac{1}{2}\cdot 0 + \tfrac{\pi^{4}}{4}\right) =\sqrt{2}\cdot \tfrac{\pi^{4}}{4} =\frac{\sqrt{2}\,\pi^{4}}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}\,\pi^{4}}{4}

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