Questão 02 - Calcule a integral de linha \int_{C}\left(x y+z^{3}\right) d s de (1,0,0) a (-1,0, \pi) ao longo da hélice C , que é representada pelas equações paramétricas x=\cos t, y=\operatorname{sen} t ; z=t ; \operatorname{com} 0 \leq t \leq \pi . \quad \boldsymbol{R}: \frac{\sqrt{\mathbf{2}} \cdot \boldsymbol{\pi}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{4}}
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral de linha
\int_{C}\left(xy+z^{3}\right)\,ds
ao longo da hélice C dada pelas equações paramétricas
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad z=t,
com o parâmetro variando em 0\le t\le \pi. O ponto inicial (1,0,0) corresponde a t=0 e o ponto final (-1,0,\pi) corresponde a t=\pi. Essas são todas as informações fornecidas.
Passo 2
Fórmula prática que vamos usar (aqui é a “aula rápida”): se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para a\le t\le b, e temos uma função escalar f(x,y,z), então a integral de linha em relação ao comprimento de arco é