Questão 03 - Calcule a integral de linha \int_{C}(x+2 y+z) d s ao longo do segmento de reta de extremidades P(1,1,0) e Q(0,1,2) . \quad \boldsymbol{R}: \frac{\mathbf{7} \sqrt{\mathbf{5}}}{\mathbf{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (x+2y+z)\,ds
ao longo do segmento de reta com extremidades P(1,1,0) e Q(0,1,2).
Informações dadas:
  • Pontos finais do segmento: P=(1,1,0) e Q=(0,1,2).
  • Função escalar a ser integrada ao longo da curva: f(x,y,z)=x+2y+z.
  • A curva C é o segmento de reta que une P a Q.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva C parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b], a integral de linha em função do comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b} f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) é uma parametrização da curva; cada t dá um ponto da curva.
  • \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é a derivada componente a componente.
  • \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}} é a velocidade escalar — o fator que transforma dt em ds (pequeno comprimento de arco).
  • f\big(\mathbf{r}(t)\big) é a função f avaliada ao longo da curva.
Isso transforma a integral sobre a curva numa integral usual em t. Tranquilo, né? Agora vamos aplicar isso ao nosso segmento.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta PQ.
Um jeito padrão de parametrizar o segmento de P a Q é
\mathbf{r}(t)=P+t(Q-P),\qquad 0\le t\le 1.
Calcule Q-P:
Q-P=(0-1,\;1-1,\;2-0)=(-1,\,0,\,2).
Logo a parametrização é
\mathbf{r}(t)=(1,1,0)+t(-1,0,2)=(1-t,\;1,\;2t),\qquad 0\le t\le 1.
Verificação rápida: para t=0 temos \mathbf{r}(0)=(1,1,0)=P e para t=1 temos \mathbf{r}(1)=(0,1,2)=Q. Beleza.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=(-1,\,0,\,2).
A norma é constante porque \mathbf{r}'(t) é independente de t:
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.
Isso significa que ds=\sqrt{5}\,dt ao longo de todo o segmento — massa uniforme, sem surpresa.

Passo 5

Avaliar a função f(x,y,z)=x+2y+z ao longo da parametrização \mathbf{r}(t).
Substituindo x=1-t, y=1, z=2t:
f\big(\mathbf{r}(t)\big)=(1-t)+2(1)+(2t)=1-t+2+2t=3+t.
Então f(\mathbf{r}(t))=3+t.

Passo 6

Montar a integral em t usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C} (x+2y+z)\,ds=\int_{0}^{1} \big(3+t\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt =\int_{0}^{1} (3+t)\,\sqrt{5}\,dt.
Como \sqrt{5} é constante, podemos puxar para fora:
\int_{0}^{1} (3+t)\,\sqrt{5}\,dt=\sqrt{5}\int_{0}^{1} (3+t)\,dt.
Calcule a integral interior:
\int_{0}^{1} (3+t)\,dt=\left[3t+\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}.
Multiplicando pelo \sqrt{5}:
\sqrt{5}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a integranda ficou linear em t, a velocidade é constante \sqrt{5}, então a conta é direta e o resultado é plausível. Não tem armadilha: números pequenos, nada de integral complicada. Força aí que você consegue repetir isso na prova!

Resposta

\dfrac{7\sqrt{5}}{2}

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