Questão 03 - Calcule a integral de linha \int_{C}(x+2 y+z) d s ao longo do segmento de reta de extremidades P(1,1,0) e Q(0,1,2) . \quad \boldsymbol{R}: \frac{\mathbf{7} \sqrt{\mathbf{5}}}{\mathbf{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (x+2y+z)\,ds
ao longo do segmento de reta com extremidades P(1,1,0) e Q(0,1,2).
Informações dadas:
Pontos finais do segmento: P=(1,1,0) e Q=(0,1,2).
Função escalar a ser integrada ao longo da curva: f(x,y,z)=x+2y+z.
A curva C é o segmento de reta que une P a Q.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva C parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b], a integral de linha em função do comprimento de arco é
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) é uma parametrização da curva; cada t dá um ponto da curva.
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é a derivada componente a componente.
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}} é a velocidade escalar — o fator que transforma dt em ds (pequeno comprimento de arco).
f\big(\mathbf{r}(t)\big) é a função f avaliada ao longo da curva.
Isso transforma a integral sobre a curva numa integral usual em t. Tranquilo, né? Agora vamos aplicar isso ao nosso segmento.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta PQ.
Um jeito padrão de parametrizar o segmento de P a Q é
Interpretação final e checagem rápida: a integranda ficou linear em t, a velocidade é constante \sqrt{5}, então a conta é direta e o resultado é plausível. Não tem armadilha: números pequenos, nada de integral complicada. Força aí que você consegue repetir isso na prova!