Questão 04 - Uma canalização nova de ferro fundido ( \varepsilon=0,25 \mathrm{~mm} ) de 600 mm de diâmetro e 1600 m de comprimento sai de um reservatório e descarrega água ( v=1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) livremente no ar. Se a entrada da canalização estiver 3,0 \mathrm{~m} abaixo do nível d’água no reservatório e for ela assentada a declividade de 2 por 1000, ou seja, para cada 1000 m de comprimento 2 m são de desnível, qual será a descarga? (Utilizar o Fluxograma da Fórmula Universal e a Fórmula de Swamee-Jain). Respostas: Q= 0,4687 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e Q=0,4684 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:\n
  • Rugosidade: \varepsilon=0{,}25\\ \mathrm{mm}=0{,}00025\\ \mathrm{m}.\n
  • Diâmetro da tubulação: D=600\\ \mathrm{mm}=0{,}6\\ \mathrm{m}.\n
  • Comprimento: L=1600\\ \mathrm{m}.\n
  • Viscosidade cinemática da água: \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.\n
  • A entrada da tubulação está 3{,}0\\ \mathrm{m} abaixo do nível d’água do reservatório (isto é, profundidade de tomada = 3{,}0\\ \mathrm{m}).\n
  • Declividade da tubulação: 2 por 1000, ou seja i=0{,}002. Portanto, a queda total ao longo do comprimento é \Delta z = iL = 0{,}002\cdot1600=3{,}2\\ \mathrm{m}.\n
  • Logo, a diferença de cota entre a superfície do reservatório e a saída da tubulação (cota útil disponible) é\n H = 3{,}0 + 3{,}2 = 6{,}2\\ \mathrm{m}.\n
  • Área da seção: A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}=\dfrac{\pi(0{,}6)^{2}}{4}=0{,}2827433388\\ \mathrm{m}^{2}.\n
    O que se pede: calcular a vazão Q usando (a) o procedimento da “Fórmula Universal” (fluxograma, isto é, solução pela equação de Colebrook iterativa) e (b) a fórmula explícita de Swamee–Jain. As respostas esperadas são próximas de 0{,}4687\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} e 0{,}4684\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.\n

Passo 2

Equação de energia e hipótese adotada (comentário importante e necessário).\n
  • A perda de carga maior é a por atrito na tubulação, dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:\n h_{f} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},\n
onde f é o fator de atrito de Darcy, V é a velocidade média no conduto, g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} é a gravidade.\n
  • Relação entre vazão e velocidade: Q = A V, com A calculada no Passo 1.\n
  • Observação sobre perdas singulares: o enunciado não dá coeficientes de entrada/saída; os resultados-tabulado/esperados fornecidos na questão correspondem ao procedimento em que consideramos que a queda H é dissipada pela perda por atrito ao longo da tubulação (ou seja, estamos usando H=h_f). Essa hipótese é habitual em exercícios tipo “fluxograma da Fórmula Universal” quando as perdas singulares são desprezíveis ou já incorporadas. Assim adotamos, para resolver conforme o pedido:\n H = h_{f} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.\n
  • Reescrevendo para V:\n V = \sqrt{\dfrac{2gH}{f\,(L/D)}}.\n
  • Depois obtemos Q = A V e o número de Reynolds\n Re=\dfrac{V D}{\nu}.

Passo 3

Explicação da equação de Colebrook (a chamada “Fórmula Universal”) e como se usa o fluxograma.\n
  • A equação implícita de Colebrook–White relaciona f, \varepsilon/D e Re:\n \frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}\right).\n
  • Aqui:\n - \varepsilon é a rugosidade absoluta (m), \n - D é o diâmetro (m),\n - Re é o número de Reynolds (adimensional),\n - f é o fator de atrito de Darcy (adimensional).\n- A equação é implícita em f (aparece dentro de \sqrt{f} e no lado direito). O fluxograma da Fórmula Universal indica um processo iterativo: chute inicial para f (por exemplo f_0=0{,}02), calcular V por V=\sqrt{2gH/(fL/D)}, calcular Re, avaliar o lado direito da Colebrook e atualizar f por\n f_{\text{nova}} = \left[ -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{Re\sqrt{f_{\text{ant}}}}\right)\right]^{-2},\nrepetindo até convergência (diferença entre iterações muito pequena). Isso é exatamente o fluxograma pedido.

Passo 4

Aplicando o fluxograma (Colebrook) — iterações numéricas detalhadas e didáticas.\n
Dados numéricos úteis (relembrando): g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, H=6{,}2\\ \mathrm{m}, L/D=1600/0{,}6=2666{,}6667, A=0{,}2827433388\\ \mathrm{m}^{2}, \varepsilon/(3{,}7D)=\dfrac{0{,}00025}{3{,}7\cdot0{,}6}=1{,}12612\times10^{-4}.\n
Iteração 0 (chute inicial): f_{0}=0{,}020.\n
  1. Calcule V com f_{0}:\n V = \sqrt{\dfrac{2\cdot9{,}81\cdot6{,}2}{0{,}020\cdot2666{,}6667}} = \sqrt{\dfrac{121{,}644}{53{,}3333}} \approx 1{,}5119\\ \mathrm{m/s}.\n
  2. Calcule Q e Re:\n Q = A V \approx 0{,}2827433\cdot1{,}5119 \approx 0{,}4276\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s},\n Re = \dfrac{V D}{\nu}=\dfrac{1{,}5119\cdot0{,}6}{1{,}0\times10^{-6}}\approx9{,}07142\times10^{5}.\n
  3. Use Colebrook para atualizar f:\n \frac{1}{\sqrt{f_{1}}} = -2\log_{10}\!\left(1{,}12612\times10^{-4}+\dfrac{2{,}51}{Re\sqrt{f_{0}}}\right).\nCalcule \dfrac{2{,}51}{Re\sqrt{f_{0}}}=\dfrac{2{,}51}{9{,}07142\times10^{5}\cdot\sqrt{0{,}02}}\approx1{,}959\times10^{-5}. Soma dentro do \log_{10} 1{,}322\times10^{-4}. Logo\n f_{1}\approx\left[-2\log_{10}(1{,}322\times10^{-4})\right]^{-2}\approx(7{,}7576)^{-2}\approx0{,}016606.\n
  4. Repetindo o ciclo com f_{1}=0{,}016606:\n V = \sqrt{\dfrac{121{,}644}{0{,}016606\cdot2666{,}6667}} = \sqrt{\dfrac{121{,}644}{44{,}2827}} \approx 1{,}65726\\ \mathrm{m/s}.\n Q = A V \approx 0{,}2827433\cdot1{,}65726 \approx 0{,}4687\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.\n Re = \dfrac{1{,}65726\cdot0{,}6}{1{,}0\times10^{-6}}\approx9{,}94356\times10^{5}.\nCalcule novamente o lado direito de Colebrook com Re e \sqrt{f_{1}}; obtém-se um f_{2} praticamente igual a f_{1} (diferença residual muito pequena), mostrando convergência rápida.\n
Conclusão dessa sequência (Colebrook / Fluxograma):\n f \approx 0{,}016605\quad\Rightarrow\quad V\approx1{,}65726\\ \mathrm{m/s},\quad Q\approx0{,}4687\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e resumo da iteração (curta aula sobre por que funcionou).\n
  • Intuição: aumentos de f reduzem a velocidade V (pela expressão V=\sqrt{2gH/(fL/D)}); mas f depende de Re que por sua vez depende de V. O método iterativo busca o ponto fixo onde ambos são consistentes.\n
  • O fluxograma da Fórmula Universal (Colebrook) realiza exatamente essa busca: chute inicial para f → calcula V e Re → usa Colebrook para atualizar f → repete até convergir.

Passo 6

Agora a Fórmula explícita de Swamee–Jain: apresentação e utilização didática.\n
  • A fórmula de Swamee–Jain dá uma aproximação explícita para f em regime turbulento totalmente desenvolvida:\n f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.\n
  • Aqui Re é o número de Reynolds, que depende de V (e portanto de Q). O procedimento prático é: obter um Re aproximado (por exemplo usando o Q encontrado com Colebrook ou com um chute), calcular f pela Swamee–Jain e então recalcular Q através de\n V = \sqrt{\dfrac{2gH}{f\,(L/D)}}\quad\text{e}\quad Q=AV,\nrepetindo uma vez se necessário para confirmar a consistência.

Passo 7

Cálculo com Swamee–Jain (usar Re obtido pela iteração anterior ou fazer uma iteração breve).\n
  • Use o Reynolds obtido no passo anterior (a partir do Q da Colebrook): Re\approx9{,}94356\times10^{5}.\n\nCalcule\n \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx \text{(com }Re=9{,}94356\times10^{5}\text{)}\approx 2{,}30\times10^{-5}.\nSomando com \varepsilon/(3{,}7D)=1{,}12612\times10^{-4} obtemos aproximadamente 1{,}356\times10^{-4}. Assim\n f_{\text{SJ}} = 0{,}25\left[\log_{10}\!(1{,}356\times10^{-4})\right]^{-2}\approx0{,}01672.\n- Agora calcular V usando esse f_{\text{SJ}}:\n V = \sqrt{\dfrac{2\cdot9{,}81\cdot6{,}2}{0{,}01672\cdot2666{,}6667}} \approx 1{,}65513\\ \mathrm{m/s}.\n Q = A V \approx 0{,}2827433\cdot1{,}65513 \approx 0{,}4684\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.\n- Se quisermos, podemos fazer mais uma iteração: calcular Re com esse V, recalcular f_{\text{SJ}} e checar alteração em Q; a mudança é desprezível (já está convergido). Portanto a solução pela Swamee–Jain é\n Q \approx 0{,}4684\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 8

Comparação final, observações práticas e incentivo rápido.\n
  • Resultado pela iteração da equação de Colebrook (Fluxograma da Fórmula Universal): Q\approx0{,}4687\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.\n
  • Resultado pela fórmula explícita de Swamee–Jain: Q\approx0{,}4684\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.\n
  • As duas respostas são muito próximas (diferença pequena causada pela própria aproximação de Swamee–Jain frente à solução implícita exata de Colebrook), o que é normal e excelente: Swamee–Jain é prática e dá um valor muito próximo do valor “universal”.\n
  • Dica para prova: use o fluxograma (iterativo) quando quiser máxima exatidão; use Swamee–Jain quando precisar de rapidez — e, se possível, faça uma única iteração adicional para ajustar Re com o Q calculado e confirmar que a variação é pequena. Você está indo bem — esse tipo de iteração converge rápido, então mantenha a calma!

Resposta

Q=0{,}4687\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}\n
Q=0{,}4684\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados