Questão 04 - Uma canalização nova de ferro fundido (
) de 600 mm de diâmetro e 1600 m de comprimento sai de um reservatório e descarrega água (
) livremente no ar. Se a entrada da canalização estiver
abaixo do nível d’água no reservatório e for ela assentada a declividade de 2 por 1000, ou seja, para cada 1000 m de comprimento 2 m são de desnível, qual será a descarga? (Utilizar o Fluxograma da Fórmula Universal e a Fórmula de Swamee-Jain). Respostas:
e
.
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede:\n
- Rugosidade:
.\n - Diâmetro da tubulação:
.\n - Comprimento:
.\n - Viscosidade cinemática da água:
.\n - A entrada da tubulação está
abaixo do nível d’água do reservatório (isto é, profundidade de tomada = ).\n - Declividade da tubulação:
por , ou seja . Portanto, a queda total ao longo do comprimento é .\n - Logo, a diferença de cota entre a superfície do reservatório e a saída da tubulação (cota útil disponible) é\n
\n - Área da seção:
.\n
O que se pede: calcular a vazãousando (a) o procedimento da “Fórmula Universal” (fluxograma, isto é, solução pela equação de Colebrook iterativa) e (b) a fórmula explícita de Swamee–Jain. As respostas esperadas são próximas de e .\n
Passo 2
Equação de energia e hipótese adotada (comentário importante e necessário).\n
- A perda de carga maior é a por atrito na tubulação, dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:\n
\n
onde
é o fator de atrito de Darcy,
é a velocidade média no conduto,
é a gravidade.\n
- Relação entre vazão e velocidade:
, com calculada no Passo 1.\n - Observação sobre perdas singulares: o enunciado não dá coeficientes de entrada/saída; os resultados-tabulado/esperados fornecidos na questão correspondem ao procedimento em que consideramos que a queda
é dissipada pela perda por atrito ao longo da tubulação (ou seja, estamos usando ). Essa hipótese é habitual em exercícios tipo “fluxograma da Fórmula Universal” quando as perdas singulares são desprezíveis ou já incorporadas. Assim adotamos, para resolver conforme o pedido:\n \n - Reescrevendo para
:\n \n - Depois obtemos
e o número de Reynolds\n
Passo 3
Explicação da equação de Colebrook (a chamada “Fórmula Universal”) e como se usa o fluxograma.\n
- A equação implícita de Colebrook–White relaciona
, e :\n \n - Aqui:\n -
é a rugosidade absoluta (m), \n - é o diâmetro (m),\n - é o número de Reynolds (adimensional),\n - é o fator de atrito de Darcy (adimensional).\n- A equação é implícita em (aparece dentro de e no lado direito). O fluxograma da Fórmula Universal indica um processo iterativo: chute inicial para (por exemplo ), calcular por , calcular , avaliar o lado direito da Colebrook e atualizar por\n \nrepetindo até convergência (diferença entre iterações muito pequena). Isso é exatamente o fluxograma pedido.
Passo 4
Aplicando o fluxograma (Colebrook) — iterações numéricas detalhadas e didáticas.\n
Dados numéricos úteis (relembrando): ,
,
,
,
.\n
Iteração 0 (chute inicial): .\n
Dados numéricos úteis (relembrando):
Iteração 0 (chute inicial):
- Calcule
com :\n \n - Calcule
e :\n \n \n - Use Colebrook para atualizar
:\n \nCalcule . Soma dentro do ≈ . Logo\n \n - Repetindo o ciclo com
:\n \n \n \nCalcule novamente o lado direito de Colebrook com e ; obtém-se um praticamente igual a (diferença residual muito pequena), mostrando convergência rápida.\n
Conclusão dessa sequência (Colebrook / Fluxograma):\n
Passo 5
Interpretação e resumo da iteração (curta aula sobre por que funcionou).\n
- Intuição: aumentos de
reduzem a velocidade (pela expressão ); mas depende de que por sua vez depende de . O método iterativo busca o ponto fixo onde ambos são consistentes.\n - O fluxograma da Fórmula Universal (Colebrook) realiza exatamente essa busca: chute inicial para
→ calcula e → usa Colebrook para atualizar → repete até convergir.
Passo 6
Agora a Fórmula explícita de Swamee–Jain: apresentação e utilização didática.\n
- A fórmula de Swamee–Jain dá uma aproximação explícita para
em regime turbulento totalmente desenvolvida:\n \n - Aqui
é o número de Reynolds, que depende de (e portanto de ). O procedimento prático é: obter um aproximado (por exemplo usando o encontrado com Colebrook ou com um chute), calcular pela Swamee–Jain e então recalcular através de\n \nrepetindo uma vez se necessário para confirmar a consistência.
Passo 7
Cálculo com Swamee–Jain (usar
obtido pela iteração anterior ou fazer uma iteração breve).\n
- Use o Reynolds obtido no passo anterior (a partir do
da Colebrook): .\n\nCalcule\n \nSomando com obtemos aproximadamente . Assim\n \n- Agora calcular usando esse :\n \n \n- Se quisermos, podemos fazer mais uma iteração: calcular com esse , recalcular e checar alteração em ; a mudança é desprezível (já está convergido). Portanto a solução pela Swamee–Jain é\n
Passo 8
Comparação final, observações práticas e incentivo rápido.\n
- Resultado pela iteração da equação de Colebrook (Fluxograma da Fórmula Universal):
.\n - Resultado pela fórmula explícita de Swamee–Jain:
.\n - As duas respostas são muito próximas (diferença pequena causada pela própria aproximação de Swamee–Jain frente à solução implícita exata de Colebrook), o que é normal e excelente: Swamee–Jain é prática e dá um valor muito próximo do valor “universal”.\n
- Dica para prova: use o fluxograma (iterativo) quando quiser máxima exatidão; use Swamee–Jain quando precisar de rapidez — e, se possível, faça uma única iteração adicional para ajustar
com o calculado e confirmar que a variação é pequena. Você está indo bem — esse tipo de iteração converge rápido, então mantenha a calma!