Questão 05 - Calcular o diâmetro teórico que deverá assumir uma canalização de cimento amianto (
para transportar
de água a
, com uma perda de carga de 35
m em 1000 m de comprimento. (Utilizar o Fluxograma da Fórmula Universal e a Fórmula de SwameeJain). Respostas:
e
.
m em 1000 m de comprimento. (Utilizar o Fluxograma da Fórmula Universal e a Fórmula de SwameeJain). Respostas:
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o diâmetro teórico de uma tubulação de cimento‑amianto (rugosidade
) necessária para escoar
de água a
(viscosidade cinemática
), sabendo que a perda de carga é
em
de comprimento. O enunciado pede que usemos (1) o Fluxograma da Fórmula Universal (equação de Colebrook/Darcy‑Weisbach iterada) e (2) a fórmula explícita de Swamee‑Jain.
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
As duas respostas finais pedidas (para conferir) são:
(usando o Fluxograma / Colebrook) e
(usando Swamee‑Jain).
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas (aula curta e prática):
- A perda de carga por metro (declive hidráulico) pela fórmula de Darcy–Weisbach é
onde
é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
é a velocidade média do escoamento (m/s) e
o diâmetro (m).
- A velocidade média
está ligada à vazão por:
- Substituindo
em e isolando dá uma relação útil para :
Essa fórmula mostra que, se soubermos
, conseguimos o
direto. O problema é que
depende de
e do número de Reynolds
.
- O número de Reynolds é
onde
é a viscosidade cinemática.
- A equação de Colebrook (implícita) relaciona
, e :
Isto é o que o “Fluxograma da Fórmula Universal” resolve por iteração: assumimos um
, calculamos
, então
, atualizamos
via Colebrook (resolvendo a equação implícita por iteração) e repetimos até convergir.
Passo 3
Constante útil (para agilizar os cálculos):
Vou calcular
com os dados dados:
Primeiro
.
E .
Logo
E
Logo
Assim a relação prática que usaremos para atualizar
é
Passo 4
Método 1 — Fluxograma (Colebrook iterativo). Estratégia: faremos iterações externas atualizando
pela fórmula acima e, em cada passo, resolveremos a Colebrook para obter
(usando a iteração em
). Vou mostrar as iterações principais (cada linha mostra os valores numéricos com arredondamento razoável para leitura).
Inicialização:
Agora calcule
com
:
Resolver Colebrook: definimos
e iteramos
Com
obtemos, após algumas iterações internas (mostrando um passo de iteração para clareza):
Atualizamos
:
Repetimos o ciclo (calcula-se
, resolve-se Colebrook novamente e atualiza-se
). Mostrando os resultados das iterações principais até convergência:
- Iteração 2 (usando
): , Colebrook ⇒ , . - Iteração 3:
, Colebrook ⇒ , .
Os valores estabilizam rapidamente; tomando a convergência razoável obtemos
Comentários didáticos: a iteração externa usa sempre
e a iteração interna resolve Colebrook por iteração em
. Em provas, fazer 3–5 iterações costuma ser suficiente para convergência ao nível de milímetros.
Passo 5
Explicando a equação de Colebrook e por que é iterativa (mini‑aula):
- A Colebrook mistura o termo da rugosidade relativa
(efeito de regime “muito turbulento” quando dominante) e o termo (efeito viscoso/turbulento). Não existe expressão fechada simples para nessa forma — por isso faz‑se iteração. - Uma estratégia prática (e comum em prova) é: assumir
, obter , calcular , atualizar com Colebrook (iterando como mostrado) e repetir até que varie pouco entre iterações.
Passo 6
Método 2 — Fórmula explícita de Swamee‑Jain. Apresentação da fórmula e raciocínio:
- A fórmula de Swamee‑Jain dá
explicitamente como função de e :
- Como
ainda depende de que depende de , procedemos com uma iteração simples: chutamos (ou usamos o do outro método), calculamos , aplicamos Swamee‑Jain para obter , e atualizamos . Repetimos até convergir. A vantagem: não precisamos iterar dentro de Colebrook — Swamee‑Jain é explícita.
Passo 7
Cálculo prático com Swamee‑Jain (iterações mostradas resumidas):
Usando mesma constante e viscosidade
, chuto
(próximo do resultado anterior) e calculo:
Usando mesma constante
- Calculo
. - Aplico Swamee‑Jain:
Com os números, o argumento do
fica em torno de
, o que dá
- Atualizo
:
- Repetindo a iteração mais uma vez (recalculando
com , recalculando com Swamee‑Jain e atualizando ) rapidamente converge ao mesmo valor
Passo 8
Interpretação e comparação dos dois resultados:
- O método iterativo com Colebrook (Fluxograma da Fórmula Universal) dá um
ligeiramente menor porque resolve exatamente a equação implícita de Colebrook; o valor obtido assinalado na resolução pelo método é . - A fórmula de Swamee‑Jain é uma aproximação explícita (muito boa na prática) e no caso fornece
.
Ambos os valores são consistentes e próximos — a diferença é pequena (ordem de milímetros), o que é normal quando se usa uma fórmula explícita aproximada vs. a solução implícita exata.