Questão 04. Considere o campo vetorial
, determine o fluxo
, onde
é:
um retângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário, com vetor
orientado para fora de
.
um retângulo de vértices
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde a campo vetorial é dado por
.
A curva é o contorno do retângulo com vértices
, percorrido no sentido anti-horário. O vetor
é a normal orientada para fora da região (normal exterior).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Região
é o retângulo . - Campo: componente
e componente . - Quer-se o fluxo da parte exterior ao longo da fronteira
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática). Para uma curva fechada simples
que delimita uma região
no plano, o fluxo total através de
(com
orientada positivamente, isto é, no sentido anti-horário, e
apontando para fora) pode ser calculado pela fórmula de Green no formulário da divergência:
Aqui:
-
é a divergência de , definida por . - A razão de usar essa fórmula é que transforma um integral de linha sobre
em uma integral dupla sobre a região , frequentemente muito mais simples quando é um retângulo.
Passo 3
Calcular a divergência de
. Usando
e
, temos:
Portanto
Passo 4
Montar a integral dupla sobre o retângulo
:
Escolhi integrar primeiro em
(porque a parte em
é independente de
em cada termo, fica simples) e depois em
.
Passo 5
Integrar em
(primeira integração). Para cada
fixo:
Calculemos cada termo:
Então a integral interna é
Passo 6
Agora integrar em
de
a
:
Calcule:
Somando,
Passo 7
Interpretação final: o fluxo do campo
através da fronteira do retângulo, com orientação anti-horária e normal exterior, é
. Bom trabalho — a técnica de transformar fluxo em integral dupla via divergência costuma simplificar bastante esses problemas quando a região é um retângulo.