Questão 04. Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(x^{4}-y^{3}\right) \vec{i}+\left(x^{3}+y^{5}\right) \vec{j}, determine o fluxo \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \vec{n} ds, onde \gamma é:
um retângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,2) e (0,2), no sentido anti-horário, com vetor \vec{n} orientado para fora de \gamma.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\int_{\gamma} \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds
onde a campo vetorial é dado por \vec{F}(x,y)=\bigl(x^{4}-y^{3}\bigr)\vec{i}+\bigl(x^{3}+y^{5}\bigr)\vec{j}.
A curva \gamma é o contorno do retângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,2),(0,2), percorrido no sentido anti-horário. O vetor \vec{n} é a normal orientada para fora da região (normal exterior).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Região D é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le2\}.
  • Campo: componente P(x,y)=x^{4}-y^{3} e componente Q(x,y)=x^{3}+y^{5}.
  • Quer-se o fluxo da parte exterior ao longo da fronteira \gamma.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática). Para uma curva fechada simples \gamma que delimita uma região D no plano, o fluxo total através de \gamma (com \gamma orientada positivamente, isto é, no sentido anti-horário, e \vec{n} apontando para fora) pode ser calculado pela fórmula de Green no formulário da divergência:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iint_{D}\operatorname{div}\vec{F}\,dA.
Aqui:
  • \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F}, definida por \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}.
  • A razão de usar essa fórmula é que transforma um integral de linha sobre \gamma em uma integral dupla sobre a região D, frequentemente muito mais simples quando D é um retângulo.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. Usando P(x,y)=x^{4}-y^{3} e Q(x,y)=x^{3}+y^{5}, temos:
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}-y^{3}\bigr)=4x^{3},
\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+y^{5}\bigr)=5y^{4}.
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=4x^{3}+5y^{4}.

Passo 4

Montar a integral dupla sobre o retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le2\}:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iint_{D}\bigl(4x^{3}+5y^{4}\bigr)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\bigl(4x^{3}+5y^{4}\bigr)\,dy\,dx.
Escolhi integrar primeiro em y (porque a parte em y é independente de x em cada termo, fica simples) e depois em x.

Passo 5

Integrar em y (primeira integração). Para cada x fixo:
\int_{y=0}^{2}\bigl(4x^{3}+5y^{4}\bigr)\,dy = \int_{0}^{2}4x^{3}\,dy + \int_{0}^{2}5y^{4}\,dy.
Calculemos cada termo:
\int_{0}^{2}4x^{3}\,dy = 4x^{3}\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{2}=4x^{3}\cdot 2=8x^{3},
\int_{0}^{2}5y^{4}\,dy =5\cdot\bigl[\tfrac{y^{5}}{5}\bigr]_{0}^{2}= \bigl[y^{5}\bigr]_{0}^{2}=2^{5}-0=32.
Então a integral interna é
\int_{0}^{2}\bigl(4x^{3}+5y^{4}\bigr)\,dy = 8x^{3}+32.

Passo 6

Agora integrar em x de 0 a 1:
\int_{x=0}^{1}\bigl(8x^{3}+32\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}8x^{3}\,dx + \int_{0}^{1}32\,dx.
Calcule:
\int_{0}^{1}8x^{3}\,dx = 8\cdot\bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\bigr]_{0}^{1}=8\cdot\tfrac{1}{4}=2,
\int_{0}^{1}32\,dx = 32\cdot\bigl[x\bigr]_{0}^{1}=32.
Somando,
\int_{0}^{1}\bigl(8x^{3}+32\bigr)\,dx = 2+32=34.

Passo 7

Interpretação final: o fluxo do campo \vec{F} através da fronteira do retângulo, com orientação anti-horária e normal exterior, é 34. Bom trabalho — a técnica de transformar fluxo em integral dupla via divergência costuma simplificar bastante esses problemas quando a região é um retângulo.

Resposta

34

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