Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(2,1) e B(0,4).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelos pontos A(2,1) e B(0,4).
Informações dadas:
  • Ponto A tem coordenadas (2,1).
  • Ponto B tem coordenadas (0,4).
O que se deseja: encontrar uma expressão algébrica da reta que passa por esses dois pontos (pode ser na forma inclinacao-intercepto y=mx+b ou na forma geral ax+by+c=0).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta, que é a razão entre a variação em y e a variação em x.
Fórmula da inclinação:
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},
onde m é o coeficiente angular, x_A,y_A são as coordenadas do ponto A e x_B,y_B as do ponto B.
Substituindo os valores fornecidos:
m=\frac{4-1}{0-2}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}.
Interpretação intuitiva: para cada incremento de 1 em x na direção positiva, y diminui em 1{,}5 unidades (porque o declive é negativo).

Passo 3

Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta. A fórmula é:
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido da reta (escolhe-se A ou B) e m é a inclinação calculada.
Usando o ponto A(2,1) e m=-\dfrac{3}{2}:
y-1=-\frac{3}{2}\bigl(x-2\bigr).

Passo 4

Desenvolver a equação para chegar à forma mais comum y=mx+b.
Expandindo a direita:
y-1=-\frac{3}{2}x+3.
Somando 1 em ambos os lados:
y=-\frac{3}{2}x+4.
Aqui m=-\dfrac{3}{2} é a inclinação e b=4 é o coeficiente linear (ordenada na origem). Verificação rápida: ao substituir x=0 obtemos y=4 (coincide com B), e ao substituir x=2 obtemos y=1 (coincide com A), logo está correta.

Passo 5

Opcionalmente, podemos escrever a mesma reta na forma geral com coeficientes inteiros. Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2y=-3x+8.
Rearranjando para a forma ax+by+c=0:
3x+2y-8=0.
Essa é a forma geral com a=3, b=2, c=-8.

Resposta

y=-\frac{3}{2}x+4
3x+2y-8=0

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