Questão 04) Considere um capacitor de placas planas com capacitância C_{0}. Cada placa possui área superficial A=0,2 \mathrm{~m}^{2} e distância de separação entre as placas d=0,01 \mathrm{~m}. O capacitor é carregado até o equilíbrio por uma fonte que fornece tensão elétrica de 300 V . Após carregado, uma lâmina de material dielétrico com constante dielétrica \kappa=2,5 e espessura de 0,005 \mathrm{~m} é inserida entre as placas do capacitor, com suas faces equidistantes das placas. Calcule: (a) a magnitude do campo elétrico no interior da lâmina dielétrica, b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor preenchido com o dielétrico, c) a densidade superficial de cargas nas placas do capacitor e d) a capacitância do capacitor após a inserção do dielétrico.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (assumindo — como é usual nesse tipo de problema — que a fonte foi desconectada após o carregamento, portanto a carga nas placas permanece constante).
Dados fornecidos:
  • Área da placa: A=0,2\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Separação entre as placas: d=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Tensão aplicada antes da inserção do dielétrico: V_{0}=300\\ \mathrm{V}.
  • Constante dielétrica da lâmina: \kappa=2,5.
  • Espessura da lâmina: t=0,005\\ \mathrm{m}.
  • A lâmina é inserida com faces equidistantes das placas, ou seja, as regiões são: vácuo de espessura (d-t)/2=0,0025\\ \mathrm{m} em cada lado e o dielétrico de espessura t=0,005\\ \mathrm{m} no meio.
  • Constante do vácuo: \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
O enunciado pede:
(a) a magnitude do campo elétrico no interior da lâmina dielétrica;
(b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor preenchido com o dielétrico;
(c) a densidade superficial de cargas nas placas do capacitor;
(d) a capacitância do capacitor após a inserção do dielétrico.
Observação que vou usar: como a fonte foi desconectada depois de carregar, a carga Q nas placas permanece constante durante e após a inserção do dielétrico.

Passo 2

Calcular a carga inicial Q no capacitor (para isso preciso do valor de C_{0}, capacitância do capacitor de placas paralelas sem dielétrico).
Fórmula da capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico:
C_{0}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do espaço livre, A a área de cada placa e d a separação entre elas. Explicando: a capacitância mede a capacidade de armazenar carga por unidade de diferença de potencial; quanto maior a área e menor a separação, maior a capacitância.
Calculemos C_{0}:
C_{0}=\frac{8{,}854\times10^{-12}\times0{,}2}{0{,}01} = \left(8{,}854\times10^{-12}\right)\times20 =1{,}7708\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Como o capacitor foi carregado até V_{0}=300\\ \mathrm{V} e a fonte foi desconectada, a carga Q é
Q=C_{0}V_{0} =1{,}7708\times10^{-10}\times300 =5{,}3124\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Comentário pequeno de didática: é prático calcular Q logo no início porque, com a fonte removida, Q é a quantidade que permanece e determina os campos depois da inserção do dielétrico.

Passo 3

Relações entre \mathbf{D}, \mathbf{E} e permissividade; cálculo do deslocamento elétrico D e do campo elétrico nas regiões de vácuo e no dielétrico.
Conceitos usados (explicação didática):
  • Para placas planas com simetria, o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D} é constante em toda a região entre as placas e sua magnitude é igual à densidade de carga livre nas placas: D=\sigma_{\text{livre}}=\dfrac{Q}{A}.
  • A relação entre D e E é \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, onde \varepsilon é a permissividade do meio. Em vácuo \varepsilon=\varepsilon_{0}. No dielétrico \varepsilon=\varepsilon_{0}\kappa.
  • Assim, nas regiões de vácuo E_{\text{vac}}=D/\varepsilon_{0} e no dielétrico E_{\text{diel}}=D/(\varepsilon_{0}\kappa).
Calcule D:
D=\frac{Q}{A}=\frac{5{,}3124\times10^{-8}}{0{,}2} =2{,}6562\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Calcule E_{\text{vac}}:
E_{\text{vac}}=\frac{D}{\varepsilon_{0}} =\frac{2{,}6562\times10^{-7}}{8{,}854\times10^{-12}} =3{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
Observação: esse valor também poderia ser obtido diretamente antes da inserção como E_{0}=V_{0}/d=300/0{,}01=3{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
Calcule E_{\text{diel}}:
E_{\text{diel}}=\frac{D}{\varepsilon_{0}\kappa} =\frac{2{,}6562\times10^{-7}}{8{,}854\times10^{-12}\times2{,}5} =\frac{2{,}6562\times10^{-7}}{2{,}2135\times10^{-11}} =1{,}1995\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando sensivelmente para três dígitos significativos:
E_{\text{diel}}\approx1{,}20\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

Calcular a diferença de potencial entre as placas depois da inserção do dielétrico (com carga Q fixa).
Raciocínio: a diferença de potencial é a soma das quedas de potencial em cada região (duas regiões de vácuo de espessura g=(d-t)/2 e a região do dielétrico de espessura t):
V_{\text{novo}}=E_{\text{vac}}\cdot(2g)+E_{\text{diel}}\cdot t.
Aqui g=0{,}0025\\ \mathrm{m}.
Calcule:
2g=2\times0{,}0025=0{,}005\\ \mathrm{m}.
V_{\text{novo}}=3{,}00\times10^{4}\times0{,}005 + 1{,}1995\times10^{4}\times0{,}005.
V_{\text{novo}}=\left(3{,}00\times10^{4}+1{,}1995\times10^{4}\right)\times0{,}005 =4{,}1995\times10^{4}\times0{,}005 =209{,}975\\ \mathrm{V}.
Arredondando:
V_{\text{novo}}\approx210\\ \mathrm{V}.
Comentário de didática: a queda de potencial diminuiu porque o dielétrico reduz o campo interno na sua região, então a soma das quedas dá um V menor que o 300\\ \mathrm{V} inicial — isso é esperado quando se insere dielétrico em capacitor isolado.

Passo 5

Calcular a densidade superficial de cargas nas placas do capacitor.
Fórmula e explicação: a densidade superficial de carga livre nas placas é
\sigma=\frac{Q}{A}.
Já calculamos D=Q/A no Passo 3; para placas, \sigma=D.
Portanto
\sigma=\;2{,}6562\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Arredondando:
\sigma\approx2{,}66\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 6

Calcular a capacitância do capacitor após a inserção do dielétrico.
Dois caminhos equivalentes (explico ambos):
  • Método 1 (direto): definição C_{\text{novo}}=Q/V_{\text{novo}}.
  • Método 2 (série de capacitores): as três camadas funcionam como capacitores em série: duas camadas de vácuo (cada uma de espessura g) e uma do dielétrico (espessura t). A capacitância equivalente é
\frac{1}{C_{\text{novo}}}=\frac{2g}{\varepsilon_{0}A}+\frac{t}{\varepsilon_{0}\kappa A},
ou reescrevendo
C_{\text{novo}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{2g+\dfrac{t}{\kappa}}.
Vou usar a expressão direta para ver a consistência e depois numericamente:
Usando C_{\text{novo}}=Q/V_{\text{novo}}:
C_{\text{novo}}=\frac{5{,}3124\times10^{-8}}{209{,}975} =2{,}5297\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Usando a fórmula em série (verificando):
\varepsilon_{0}A=8{,}854\times10^{-12}\times0{,}2=1{,}7708\times10^{-12}\\ \mathrm{F\cdot m}.
2g+\frac{t}{\kappa}=0{,}005+\frac{0{,}005}{2{,}5}=0{,}005+0{,}002=0{,}007\\ \mathrm{m}.
C_{\text{novo}}=\frac{1{,}7708\times10^{-12}}{0{,}007} =2{,}5297\times10^{-10}\\ \mathrm{F},
mesmo resultado, como esperado.
Arredondando:
C_{\text{novo}}\approx2{,}53\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.

Resposta

(a) E_{\text{diel}}=1{,}20\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}
(b) V_{\text{novo}}=210\\ \mathrm{V}
(c) \sigma=2{,}66\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^{2}}
(d) C_{\text{novo}}=2{,}53\times10^{-10}\\ \mathrm{F}

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