Questão 04) Considere um capacitor de placas planas com capacitância
. Cada placa possui área superficial
e distância de separação entre as placas
. O capacitor é carregado até o equilíbrio por uma fonte que fornece tensão elétrica de 300 V . Após carregado, uma lâmina de material dielétrico com constante dielétrica
e espessura de
é inserida entre as placas do capacitor, com suas faces equidistantes das placas. Calcule: (a) a magnitude do campo elétrico no interior da lâmina dielétrica, b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor preenchido com o dielétrico, c) a densidade superficial de cargas nas placas do capacitor e d) a capacitância do capacitor após a inserção do dielétrico.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (assumindo — como é usual nesse tipo de problema — que a fonte foi desconectada após o carregamento, portanto a carga nas placas permanece constante).
Dados fornecidos:
- Área da placa:
. - Separação entre as placas:
. - Tensão aplicada antes da inserção do dielétrico:
. - Constante dielétrica da lâmina:
. - Espessura da lâmina:
. - A lâmina é inserida com faces equidistantes das placas, ou seja, as regiões são: vácuo de espessura
em cada lado e o dielétrico de espessura no meio. - Constante do vácuo:
.
O enunciado pede:
(a) a magnitude do campo elétrico no interior da lâmina dielétrica;
(b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor preenchido com o dielétrico;
(c) a densidade superficial de cargas nas placas do capacitor;
(d) a capacitância do capacitor após a inserção do dielétrico.
(a) a magnitude do campo elétrico no interior da lâmina dielétrica;
(b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor preenchido com o dielétrico;
(c) a densidade superficial de cargas nas placas do capacitor;
(d) a capacitância do capacitor após a inserção do dielétrico.
Observação que vou usar: como a fonte foi desconectada depois de carregar, a carga
nas placas permanece constante durante e após a inserção do dielétrico.
Passo 2
Calcular a carga inicial
no capacitor (para isso preciso do valor de
, capacitância do capacitor de placas paralelas sem dielétrico).
Fórmula da capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico:
onde
é a permissividade do espaço livre,
a área de cada placa e
a separação entre elas. Explicando: a capacitância mede a capacidade de armazenar carga por unidade de diferença de potencial; quanto maior a área e menor a separação, maior a capacitância.
Calculemos
:
Como o capacitor foi carregado até
e a fonte foi desconectada, a carga
é
Comentário pequeno de didática: é prático calcular
logo no início porque, com a fonte removida,
é a quantidade que permanece e determina os campos depois da inserção do dielétrico.
Passo 3
Relações entre
,
e permissividade; cálculo do deslocamento elétrico
e do campo elétrico nas regiões de vácuo e no dielétrico.
Conceitos usados (explicação didática):
- Para placas planas com simetria, o vetor deslocamento elétrico
é constante em toda a região entre as placas e sua magnitude é igual à densidade de carga livre nas placas: . - A relação entre
e é , onde é a permissividade do meio. Em vácuo . No dielétrico . - Assim, nas regiões de vácuo
e no dielétrico .
Calcule
:
Calcule
:
Observação: esse valor também poderia ser obtido diretamente antes da inserção como
.
Calcule
:
Arredondando sensivelmente para três dígitos significativos:
Passo 4
Calcular a diferença de potencial entre as placas depois da inserção do dielétrico (com carga
fixa).
Raciocínio: a diferença de potencial é a soma das quedas de potencial em cada região (duas regiões de vácuo de espessura
e a região do dielétrico de espessura
):
Aqui
.
Calcule:
Arredondando:
Comentário de didática: a queda de potencial diminuiu porque o dielétrico reduz o campo interno na sua região, então a soma das quedas dá um
menor que o
inicial — isso é esperado quando se insere dielétrico em capacitor isolado.
Passo 5
Calcular a densidade superficial de cargas nas placas do capacitor.
Fórmula e explicação: a densidade superficial de carga livre nas placas é
Já calculamos
no Passo 3; para placas,
.
Portanto
Arredondando:
Passo 6
Calcular a capacitância do capacitor após a inserção do dielétrico.
Dois caminhos equivalentes (explico ambos):
- Método 1 (direto): definição
. - Método 2 (série de capacitores): as três camadas funcionam como capacitores em série: duas camadas de vácuo (cada uma de espessura
) e uma do dielétrico (espessura ). A capacitância equivalente é
ou reescrevendo
Vou usar a expressão direta para ver a consistência e depois numericamente:
Usando
:
Usando a fórmula em série (verificando):
mesmo resultado, como esperado.
Arredondando:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)