-31 A única força que age sobre um corpo de 2,0 \mathrm{~kg} enquanto se move no semieixo positivo de um eixo x tem uma componente F_{x}=-6 x \mathrm{~N}, \operatorname{com} x em metros. A velocidade do corpo em x=3,0 \mathrm{~m} é 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual é a velocidade do corpo em x=4,0 \mathrm{~m} ? (b) Para one valor positivo de x o corno tem uma velocidade de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (todos os números foram lidos do enunciado):
  • Massa do corpo: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Força que age no corpo (componente ao longo de x): F_x(x)=-6x\\ \mathrm{N}, com x em metros.
  • Velocidade no ponto x=3{,}0\\ \mathrm{m}: v(3)=8{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do corpo em x=4{,}0\\ \mathrm{m}?
(b) Existe algum valor positivo de x para o qual v(x)=50\\ \mathrm{m/s}? Se sim, qual é; se não, explicar por que não.

Passo 2

Conceito que vamos usar: Teorema trabalho-energia (explicado passo a passo).
  • Definição: o trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre uma partícula quando ela se desloca de x_1 para x_2 é igual à variação da energia cinética da partícula.
  • Fórmula do teorema trabalho-energia:
\Delta K = K(x_2)-K(x_1)=\int_{x_1}^{x_2} F_x(x)\,dx.
  • Aqui K(x)=\dfrac{1}{2}m\,v(x)^2 é a energia cinética no ponto x.
  • Interpretação rápida: o trabalho positivo aumenta a energia cinética; trabalho negativo diminui a energia cinética.
Vamos aplicar essa fórmula com F_x(x)=-6x. Vou explicar como calcular a integral e como passar de energia cinética para velocidade.

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pela força quando o corpo vai de x_1=3{,}0\\ \mathrm{m} até x_2=4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A integral do trabalho é
W=\int_{3}^{4} F_x(x)\,dx=\int_{3}^{4} (-6x)\,dx.
  • Calcule a primitiva: uma primitiva de -6x é -3x^2 (porque \dfrac{d}{dx}(-3x^2)=-6x).
  • Então
W=\big[-3x^2\big]_{3}^{4}=-3(4^2)+3(3^2)=-3(16)+3(9)=-48+27=-21\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho é -21\\ \mathrm{J}, negativo — a força faz trabalho que retira energia do corpo ao mover-se para a direita (pois F_x é direcionada para -x).

Passo 4

Usar o teorema trabalho-energia para encontrar a energia cinética em x=4.
  • Energia cinética em x=3:
K(3)=\tfrac{1}{2}m v(3)^2=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot(8{,}0)^2=1\cdot64=64\\ \mathrm{J}.
  • Variação de energia cinética de 3 para 4 é W=-21\\ \mathrm{J}. Logo
K(4)=K(3)+W=64-21=43\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Converter K(4) em velocidade v(4).
  • Relação entre energia cinética e velocidade:
K(4)=\tfrac{1}{2}m v(4)^2.
  • Substituindo K(4)=43\\ \mathrm{J} e m=2{,}0\\ \mathrm{kg}:
43=\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot v(4)^2 \quad\Rightarrow\quad 43=v(4)^2.
  • Portanto
v(4)=\sqrt{43}\\ \mathrm{m/s}\approx6{,}56\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora a parte (b): procurar x>0 tal que v(x)=50\\ \mathrm{m/s}. Primeiro vamos obter uma expressão geral para K(x) usando o ponto conhecido x=3 como referência.
  • Trabalho entre x_1=3 e um ponto genérico x é
W(3\to x)=\int_{3}^{x} (-6x')\,dx'=\big[-3x'^2\big]_{3}^{x}=-3x^2+27.
(Aqui usei x' como variável de integração para evitar confusão.)
  • Pela mesma razão,
K(x)=K(3)+W(3\to x)=64 + (-3x^2+27)=91 - 3x^2.
Essa expressão dá a energia cinética em função de x para qualquer x no semieixo positivo, partindo da condição em x=3.

Passo 7

Verificar se existe x>0 com v(x)=50\\ \mathrm{m/s}.
  • Energia cinética correspondente a v=50\\ \mathrm{m/s} é
K_{50}=\tfrac{1}{2}m(50)^2=\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot50^2=2500\\ \mathrm{J}.
  • Igualando à expressão de K(x):
91-3x^2=2500.
  • Rearranjando:
-3x^2=2409\quad\Rightarrow\quad x^2=-803.
  • Isso não tem solução real. Conclusão: NÃO existe x>0 tal que v(x)=50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Complemento interpretativo (útil para a prova): determinar a velocidade máxima alcançável no semieixo positivo.
  • A expressão K(x)=91-3x^2 é uma função decrescente de |x| para x\ge0; o valor máximo de K em x\ge0 ocorre em x=0:
K_{\max}=K(0)=91\\ \mathrm{J}.
  • Então a velocidade máxima para x\ge0 é
v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2K_{\max}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot91}{2}}=\sqrt{91}\\ \mathrm{m/s}\approx9{,}54\\ \mathrm{m/s},
atingida em x=0. Como v_{\max}\approx9{,}54\\ \mathrm{m/s}<50\\ \mathrm{m/s}, fica claro porque 50\\ \mathrm{m/s} não é alcançável.

Resposta

v(4)=\sqrt{43}\\ \mathrm{m/s}\approx6{,}56\\ \mathrm{m/s}
Não existe valor positivo de x tal que v(x)=50\\ \mathrm{m/s}; a velocidade máxima no semieixo positivo é v_{\max}=\sqrt{91}\\ \mathrm{m/s}\approx9{,}54\\ \mathrm{m/s} (atingida em x=0).

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