-31 A única força que age sobre um corpo de
enquanto se move no semieixo positivo de um eixo
tem uma componente
em metros. A velocidade do corpo em
é
. (a) Qual é a velocidade do corpo em
? (b) Para one valor positivo de x o corno tem uma velocidade de
?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (todos os números foram lidos do enunciado):
- Massa do corpo:
. - Força que age no corpo (componente ao longo de
): , com em metros. - Velocidade no ponto
: .
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do corpo em ?
(b) Existe algum valor positivo de para o qual
? Se sim, qual é; se não, explicar por que não.
(a) Qual é a velocidade do corpo em
(b) Existe algum valor positivo de
Passo 2
Conceito que vamos usar: Teorema trabalho-energia (explicado passo a passo).
- Definição: o trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre uma partícula quando ela se desloca de
para é igual à variação da energia cinética da partícula. - Fórmula do teorema trabalho-energia:
- Aqui
é a energia cinética no ponto . - Interpretação rápida: o trabalho positivo aumenta a energia cinética; trabalho negativo diminui a energia cinética.
Vamos aplicar essa fórmula com
. Vou explicar como calcular a integral e como passar de energia cinética para velocidade.
Passo 3
Calcular o trabalho realizado pela força quando o corpo vai de
até
.
- A integral do trabalho é
- Calcule a primitiva: uma primitiva de
é (porque ). - Então
Interpretação: o trabalho é
, negativo — a força faz trabalho que retira energia do corpo ao mover-se para a direita (pois
é direcionada para
).
Passo 4
Usar o teorema trabalho-energia para encontrar a energia cinética em
.
- Energia cinética em
:
- Variação de energia cinética de
para é . Logo
Passo 5
Converter
em velocidade
.
- Relação entre energia cinética e velocidade:
- Substituindo
e :
- Portanto
Passo 6
Agora a parte (b): procurar
tal que
. Primeiro vamos obter uma expressão geral para
usando o ponto conhecido
como referência.
- Trabalho entre
e um ponto genérico é
(Aqui usei
como variável de integração para evitar confusão.)
- Pela mesma razão,
Essa expressão dá a energia cinética em função de
para qualquer
no semieixo positivo, partindo da condição em
.
Passo 7
Verificar se existe
com
.
- Energia cinética correspondente a
é
- Igualando à expressão de
:
- Rearranjando:
- Isso não tem solução real. Conclusão: NÃO existe
tal que .
Passo 8
Complemento interpretativo (útil para a prova): determinar a velocidade máxima alcançável no semieixo positivo.
- A expressão
é uma função decrescente de para ; o valor máximo de em ocorre em :
- Então a velocidade máxima para
é
atingida em
. Como
, fica claro porque
não é alcançável.
Resposta
Não existe valor positivo de
tal que
; a velocidade máxima no semieixo positivo é
(atingida em
).