Questão 02) Dois capacitores, com capacitâncias C_{1}=2 \mu \mathrm{~F} e C_{2}=4 \mu \mathrm{~F}, foram carregados com diferenças de potencial elétrico de \Delta V_{1}=100 \mathrm{~V} e \Delta V_{2}=200 \mathrm{~V}, respectivamente. Em seguida, os capacitores são conectados ligando-se as placas com cargas de mesmo sinal por um fio condutor. Determine: a) a diferença de potencial nos capacitores em equilíbrio, b) as cargas finais em cada capacitor no estado de equilíbrio e c) a variação da energia potencial elétrica interna do sistema entre os estados final e inicial.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede três coisas (peguei todos os números do enunciado):
  • Capacitâncias: C_{1}=2\\ \mu\mathrm{F} e C_{2}=4\\ \mu\mathrm{F}.
  • Diferenças de potencial iniciais: \Delta V_{1}=100\\ \mathrm{V} e \Delta V_{2}=200\\ \mathrm{V}.
  • Os capacitores são conectados ligando-se as placas com cargas de mesmo sinal por um fio condutor (isto é, as placas correspondentes com cargas iguais ficam em comum, formando uma configuração de capacitores em paralelo alinhados por sinal).
    O enunciado pede:
    a) a diferença de potencial nos capacitores em equilíbrio;
    b) as cargas finais em cada capacitor no estado de equilíbrio;
    c) a variação da energia potencial elétrica interna do sistema entre os estados final e inicial (ou seja, U_{\text{final}}-U_{\text{inicial}}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicadinhas):
  • Definição de capacitância: a carga Q armazenada num capacitor é proporcional à diferença de potencial V entre suas placas. A relação é
Q=C\,V,
onde Q é a carga (em coulombs), C a capacitância (em farads) e V a tensão (em volts).
  • Energia armazenada em um capacitor: a energia elétrica armazenada é
U=\tfrac{1}{2}CV^{2},
onde U é em joules. Aqui C é a capacitância e V a diferença de potencial.
  • Conservação da carga: ao conectar as placas correspondentes (positivas com positivas e negativas com negativas), as cargas totais nas coleções de placas conectadas são conservadas (se o conjunto é isolado). Para capacitores em paralelo a tensão final comum é a razão entre a carga total acumulada nas placas e a capacitância total:
V_{\text{final}}=\frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{total}}}.
Explicação física simples: ao ligar os positivos entre si e os negativos entre si, os dois capacitores ficam com a mesma tensão; cargas podem se redistribuir entre as placas ligadas, mas a soma das cargas nas placas ligadas se conserva.

Passo 3

Calcular as cargas iniciais em cada capacitor usando Q=C\,V.
  • Para C_{1}=2\\ \mu\mathrm{F} e \Delta V_{1}=100\\ \mathrm{V}:
Q_{1i}=C_{1}\Delta V_{1}=2\\ \mu\mathrm{F}\times100\\ \mathrm{V}=200\\ \mu\mathrm{C}.
Observação prática: 1\\ \mu\mathrm{F}\times1\\ \mathrm{V}=1\\ \mu\mathrm{C}, então não precisei converter para farads para obter carga em \mu\mathrm{C}.
  • Para C_{2}=4\\ \mu\mathrm{F} e \Delta V_{2}=200\\ \mathrm{V}:
Q_{2i}=C_{2}\Delta V_{2}=4\\ \mu\mathrm{F}\times200\\ \mathrm{V}=800\\ \mu\mathrm{C}.
A soma das cargas armazenadas nas placas do mesmo sinal (por exemplo, placas positivas) antes da conexão é
Q_{\text{total}}=Q_{1i}+Q_{2i}=200\\ \mu\mathrm{C}+800\\ \mu\mathrm{C}=1000\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 4

Determinar a tensão final.
Quando os capacitores ficam ligados em paralelo (positivos juntos, negativos juntos) a tensão em equilíbrio é a mesma para ambos e é dada por
V_{\text{final}}=\frac{Q_{\text{total}}}{C_{1}+C_{2}},
onde Q_{\text{total}} é a carga total nas placas conectadas (conservada) e C_{1}+C_{2} é a capacitância equivalente em paralelo.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os números:
  • Capacitância total: C_{1}+C_{2}=2\\ \mu\mathrm{F}+4\\ \mu\mathrm{F}=6\\ \mu\mathrm{F}.
  • Então
V_{\text{final}}=\frac{1000\\ \mu\mathrm{C}}{6\\ \mu\mathrm{F}}=\frac{1000}{6}\\ \mathrm{V}=\frac{500}{3}\\ \mathrm{V}.
Em valor decimal aproximado:
V_{\text{final}\,}\approx 166,67\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular as cargas finais em cada capacitor usando Q=C\,V.
  • Para o capacitor 1:
Q_{1f}=C_{1}V_{\text{final}}=2\\ \mu\mathrm{F}\times\frac{500}{3}\\ \mathrm{V}=\frac{1000}{3}\\ \mu\mathrm{C}\approx333,33\\ \mu\mathrm{C}.
  • Para o capacitor 2:
Q_{2f}=C_{2}V_{\text{final}}=4\\ \mu\mathrm{F}\times\frac{500}{3}\\ \mathrm{V}=\frac{2000}{3}\\ \mu\mathrm{C}\approx666,67\\ \mu\mathrm{C}.
Confirmação rápida: Q_{1f}+Q_{2f}=\dfrac{1000}{3}\\ \mu\mathrm{C}+\dfrac{2000}{3}\\ \mu\mathrm{C}=1000\\ \mu\mathrm{C}=Q_{\text{total}}, como deve ser.

Passo 7

Calcular a energia inicial total U_{\text{inicial}}. Usamos U=\tfrac{1}{2}CV^{2} para cada capacitor e somamos. Aqui passo para unidades SI (farad e joule) para ficar rigoroso:
  • Converter: 2\\ \mu\mathrm{F}=2\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e 4\\ \mu\mathrm{F}=4\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Energia do primeiro:
U_{1i}=\tfrac{1}{2}C_{1}\Delta V_{1}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot2\times10^{-6}\cdot(100)^{2}=1\times10^{-6}\cdot10^{4}=0,01\\ \mathrm{J}.
  • Energia do segundo:
U_{2i}=\tfrac{1}{2}C_{2}\Delta V_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot4\times10^{-6}\cdot(200)^{2}=2\times10^{-6}\cdot4\times10^{4}=0,08\\ \mathrm{J}.
  • Energia inicial total:
U_{\text{inicial}}=U_{1i}+U_{2i}=0,01\\ \mathrm{J}+0,08\\ \mathrm{J}=0,09\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular a energia final U_{\text{final}}. Pode usar U=\tfrac{1}{2}(C_{1}+C_{2})V_{\text{final}}^{2} ou a forma com carga total:
U_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}(C_{1}+C_{2})V_{\text{final}}^{2}=\tfrac{(Q_{\text{total}})^{2}}{2(C_{1}+C_{2})}.
Usando a primeira forma (valores SI):
U_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}\cdot6\times10^{-6}\cdot\Big(\frac{500}{3}\Big)^{2}.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot6\times10^{-6}=3\times10^{-6}, \qquad \Big(\frac{500}{3}\Big)^{2}=\frac{250000}{9}.
Multiplicando:
U_{\text{final}}=3\times10^{-6}\cdot\frac{250000}{9}=\frac{750000}{9}\times10^{-6}=\frac{250000}{3}\times10^{-6}=\frac{1}{12}\\ \mathrm{J}\approx0,083333\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Calcular a variação da energia entre final e inicial:
\Delta U=U_{\text{final}}-U_{\text{inicial}}=\frac{1}{12}\\ \mathrm{J}-0,09\\ \mathrm{J}.
Fazendo em frações: 0,09=\dfrac{9}{100} e \dfrac{1}{12}=\dfrac{25}{300}, colocando mesmo denominador resulta
\Delta U=-\frac{1}{150}\\ \mathrm{J}\approx -0,0066667\\ \mathrm{J}.
Em mili-joule:
\Delta U\approx -6,67\times10^{-3}\\ \mathrm{J}=-6,67\\ \mathrm{mJ}.
Comentário físico curto: a energia diminuiu; a diferença foi dissipada (por exemplo como calor no fio durante a redistribuição de carga).

Passo 10

Resumo físico e dica para prova (rápido e prático):
  • Procedimento padrão para conectar capacitores já carregados em paralelo: calcular cargas iniciais Q=C\,V, somar cargas nas placas conectadas, obter V_{\text{final}}=\dfrac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{total}}}, então Q_{if}=C_{i}V_{\text{final}}. Energia inicial e final pelas fórmulas \tfrac{1}{2}CV^{2}. Se pedir variação, sempre verificar sinal (negativo = energia dissipada).

Resposta

a) \Delta V_{\text{final}}=\dfrac{500}{3}\\ \mathrm{V}\approx166,67\\ \mathrm{V}
b) Q_{1f}=\dfrac{1000}{3}\\ \mu\mathrm{C}\approx333,33\\ \mu\mathrm{C}
Q_{2f}=\dfrac{2000}{3}\\ \mu\mathrm{C}\approx666,67\\ \mu\mathrm{C}
c) \Delta U=U_{\text{final}}-U_{\text{inicial}}=-\dfrac{1}{150}\\ \mathrm{J}\approx-0,006667\\ \mathrm{J}

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