Questão 04: Considere um sistema autônomo descrito a partir da seguinte equação de estados.
-
, para o caso contínuo no tempo;
-
, para o caso discreto no tempo.
sendo
Com base na teoria de Lyapunov, verifique se as matrizes
(para o caso contínuo no tempo) e
(para o caso discreto no tempo) satisfazem a condição de estabilidade de Lyapunov, considerando-se uma função de Lyapunov candidata, descrita da seguinte forma:
-
, para o caso contínuo no tempo;
-
, para o caso discreto no tempo.
sendo
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que usar a teoria de Lyapunov pra ver se as matrizes candidatas
deixam a energia
sempre decair.
Matéria: estabilidade de sistemas contínuos e discretos por função de Lyapunov.
O que vamos precisar:
Matéria: estabilidade de sistemas contínuos e discretos por função de Lyapunov.
O que vamos precisar:
- No caso contínuo, checar que
com simétrica e definida positiva. - No caso discreto, checar que
com simétrica e definida positiva.
Passo 2
Temos dois candidatos
:
Calculemos
para cada um:
- Com
:
[
A_c^T P_{c1} + P_{c1}A_c
=
^T
+
= -,
]
O termo dentro do “
” é simétrico e tem autovalores
e
. Então
.
- Com
:
[
A_c^T I + I,A_c
=
+
= -,
]
e
é definida positiva.
Conclusão: ambos
e
satisfazem a condição de Lyapunov para o contínuo.
Passo 3
Primeiro candidato:
Repare que
não é simétrica (
), então já cai fora: não é uma boa função de Lyapunov (não pode nem começar a verificar).
Passo 4
Outro candidato:
Calculemos
Fazendo as contas (ou usando MATLAB) dá
então
[
\Delta
\approx
-
.
]
]
O que significa
Os autovalores de
são positivos (≈0.99 e 0.9957), então
. Logo
satisfaz Lyapunov discreto.
Resposta
- No caso contínuo, ambas as matrizes
e satisfazem a condição de Lyapunov. - No caso discreto, apenas a matriz
satisfaz a condição de Lyapunov; a outra proposta não é sequer simétrica.