Questão 04: Considere um sistema autônomo descrito a partir da seguinte equação de estados.
  • dotx(t)=Ac x(t), para o caso contínuo no tempo;
  • x(k)=Ad x(k), para o caso discreto no tempo.
    sendo
Ac=[cc -2 & 0 0 & -3 ] e Ad=[cc 1 & 0.5 -1 & 0.3 ]
Com base na teoria de Lyapunov, verifique se as matrizes Pc (para o caso contínuo no tempo) e Pd (para o caso discreto no tempo) satisfazem a condição de estabilidade de Lyapunov, considerando-se uma função de Lyapunov candidata, descrita da seguinte forma:
  • V(x(t)=x^T(t) Pc x(t)), para o caso contínuo no tempo;
  • V(x(k)=x^T(k) Pd x(k), para o caso discreto no tempo.
& Pc=[cc 0,25 & 0 0 & 0,16 ], Pc=[ll 1 & 0 0 & 1 ] & Pd=[ll 1 & 0 1 & 1 ], Pd=[ll 9,62 & 2,83 2,83 & 4,67 ]

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que usar a teoria de Lyapunov pra ver se as matrizes candidatas V(x)=x^T P x deixam a energia
Ac^T Pc + Pc Ac = -Qc
sempre decair.
Matéria: estabilidade de sistemas contínuos e discretos por função de Lyapunov.
O que vamos precisar:
  • No caso contínuo, checar que Ad^T Pd Ad - Pd = -Qd com simétrica e definida positiva.
  • No caso discreto, checar que com simétrica e definida positiva.

Passo 2

Temos dois candidatos 0.25&00&0.16:
  1. 1&00&1
  2. Ac^T Pc + Pc Ac
Calculemos
Ac^T Pc1 + Pc1Ac =-2&00&-3^T 0.25&00&0.16 + 0.25&00&0.16 -2&00&-3 = -1&00&-0.96 = -,1&00&0.96
para cada um:
  1. Com 1&00&0.96:

[
A_c^T P_{c1} + P_{c1}A_c
= Ac^T I + I,Ac =-2&00&-3 + -2&00&-3 = -4&00&-6 = -,4&00&6, ^T
4&00&6
+


= -, .
]
O termo dentro do “ ” é simétrico e tem autovalores e . Então .
  1. Com :

[
A_c^T I + I,A_c
=
+


= -, ,
]
e é definida positiva.
Conclusão: ambos e satisfazem a condição de Lyapunov para o contínuo.

Passo 3

Primeiro candidato:
Pd1=1&01&1
Repare que não é simétrica ( ), então já cai fora: não é uma boa função de Lyapunov (não pode nem começar a verificar).

Passo 4

Outro candidato:
Pd2=9.62&2.832.83&4.67, Ad=1&0.5-1&0.3
Calculemos
De
Fazendo as contas (ou usando MATLAB) dá
Ad^T Pd2Ad approx8.63&2.8432.843&3.6743,
então
[
\Delta
\approx
De

Ad^T Pd2Ad - Pd2 = -,Qd, Qdapprox0.99&-0.013-0.013&0.9957

- .
]
O que significa
Os autovalores de são positivos (≈0.99 e 0.9957), então . Logo satisfaz Lyapunov discreto.

Resposta

  • No caso contínuo, ambas as matrizes 9.62&2.832.83&4.67 e satisfazem a condição de Lyapunov.
  • No caso discreto, apenas a matriz

    satisfaz a condição de Lyapunov; a outra proposta não é sequer simétrica.

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