Questão 05: Verifique a estabilidade do sistema contínuo no tempo a partir do Critério de RouthHurwitz. Caso o sistema seja instável, indique quantos polos instáveis o sistema possui.
  • De

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Critério de Routh–Hurwitz para verificar a estabilidade do sistema contínuo cujo polinômio característico é
De
Conteúdo: estabilidade de sistemas contínuos.
O que vamos precisar:
  • Montar a tabela de Routh.
  • Entender que cada linha corresponde a potências decrescentes de .
  • Contar quantas vezes o sinal na primeira coluna muda de uma linha para a outra.
  • Lembrar que, se surgir uma linha totalmente nula, a gente constrói o polinômio auxiliar e usa sua derivada para preencher a tabela.

Passo 2

Primeiro, montamos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes de :
      s⁶ |  1    |  –9   |  43   |  –75  
      s⁵ |  2    |  –12  |  50   |   0  
Aqui a teoria diz que a tabela de Routh organiza, na linha de grau , os coeficientes de . A linha de grau recebe os coeficientes de .

Passo 3

Agora calculamos a linha de e<=mentos^4,1 = (2)(-9);-;(1)(-12) 2 =-18+122=-3, . A regra geral é:
e<=mentos^4,2 = (2)(43);-;(1)(50) 2 =86-502=18,
e<=mentos^4,3 = (2)(-75);-;(1)(0) 2 =-75
Então a linha é .

Passo 4

Quando chegamos à linha de A(s) = -3s^4 + 18s^2 -75 , descobrimos que todos os elementos dão zero com a fórmula direta. Isso aciona a regra do “polinômio auxiliar”. A gente pega a linha de dAds = -12s^3 +36s e monta
Depois derivamos:
E usamos os coeficientes e para preencher a linha de :
      s⁴ | –3   |  18   | –75  
      s³ | –12  |  36   |   0

Passo 5

Completa-se o restante da tabela:
Cálculo da linha aaa (-12)(18) -(-3)(36)-12 =9, (-12)(-75)-(-3)(0)-12 =-75 :
9cdot36 -(-12)(-75)9 = -64,
Linha 1,;2,;-3,;-12,;9,;-64,;-75 :
e a outra coluna fica zero.
Linha é simplesmente o último coeficiente .
Primeira coluna completa:

Passo 6

Para saber quantos polos no semiplano direito (instáveis), contamos as trocas de sinal nessa primeira coluna:
+1 → +2 (sem troca)
+2 → –3 (1 troca)
–3 → –12 (sem troca)
–12 → +9 (1 troca)
+9 → –64 (1 troca)
–64 → –75 (sem troca)
Total: 3 trocas de sinal ⇒ 3 polos instáveis.

Resposta

O sistema é instável e possui 3 polos no semiplano direito.

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