Questão 05: Verifique a estabilidade do sistema contínuo no tempo a partir do Critério de RouthHurwitz. Caso o sistema seja instável, indique quantos polos instáveis o sistema possui.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos o Critério de Routh–Hurwitz para verificar a estabilidade do sistema contínuo cujo polinômio característico é
Conteúdo: estabilidade de sistemas contínuos.
O que vamos precisar:
Montar a tabela de Routh.
Entender que cada linha corresponde a potências decrescentes de .
Contar quantas vezes o sinal na primeira coluna muda de uma linha para a outra.
Lembrar que, se surgir uma linha totalmente nula, a gente constrói o polinômio auxiliar e usa sua derivada para preencher a tabela.
Passo 2
Primeiro, montamos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes de :
s⁶ | 1 | –9 | 43 | –75
s⁵ | 2 | –12 | 50 | 0
Aqui a teoria diz que a tabela de Routh organiza, na linha de grau , os coeficientes de . A linha de grau recebe os coeficientes de .
Passo 3
Agora calculamos a linha de . A regra geral é:
Então a linha é .
Passo 4
Quando chegamos à linha de , descobrimos que todos os elementos dão zero com a fórmula direta. Isso aciona a regra do “polinômio auxiliar”. A gente pega a linha de e monta
Depois derivamos:
E usamos os coeficientes e para preencher a linha de :
s⁴ | –3 | 18 | –75
s³ | –12 | 36 | 0
Passo 5
Completa-se o restante da tabela:
Cálculo da linha :
Linha 1,;2,;-3,;-12,;9,;-64,;-75 :
e a outra coluna fica zero.
Linha é simplesmente o último coeficiente .
Primeira coluna completa:
Passo 6
Para saber quantos polos no semiplano direito (instáveis), contamos as trocas de sinal nessa primeira coluna:
+1 → +2 (sem troca)
+2 → –3 (1 troca)
–3 → –12 (sem troca)
–12 → +9 (1 troca)
+9 → –64 (1 troca)
–64 → –75 (sem troca)
Total: 3 trocas de sinal ⇒ 3 polos instáveis.
Resposta
O sistema é instável e possui 3 polos no semiplano direito.