Questão 08: Determine a posição dos polos do sistema de segunda ordem que satisfaçam as seguintes especificações de desempenho:
  • Sobressinal máximo: 5 %; tempo de acomodação: 4 segundos;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e ver o que precisamos.
Enunciado: “Um sistema de segunda ordem deve ter sobressinal máximo de 5 % e tempo de acomodação de 4 s. Determine a posição dos polos.”
Conteúdo: Resposta de sistemas de segunda ordem (função de transferência tipo
G(s)=omegan^2s^2+2zetaomegan s+omegan^2).
O que vamos usar:
  • Fórmula do sobressinal Mp= e^-zetapiraiz1-zeta^2 para achar o coeficiente de amortecimento zeta.
  • Fórmula do tempo de acomodação (2 %): Ts approx 4zeta,omegan para achar a frequência natural omegan.
  • Finalmente, polos: s = -zetaomegan pm j,omeganraiz1-zeta^2.

Passo 2

Calcular o coeficiente de amortecimento zeta a partir do sobressinal de 5 %.
  1. Escrevemos a fórmula:
    Mp = e^-zetapiraiz1-zeta^2, com Mp=0,05.
  2. Passo-a-passo:
    • Primeiro, isolamos o expoente:
      -zetapiraiz1-zeta^2 = ln(0,05).
    • Sabendo que ln(0,05)approx -2,9957, temos
      zetapiraiz1-zeta^2 = 2,9957.
    • Então zeta = 2,9957pi;raiz1-zeta^2,
      - Para resolver, usamos a fórmula direta conhecida:
      zeta = -ln(Mp)raizpi^2 + [ln(Mp)]^2approx 2,9957raiz9,8696+8,9744approx 0,69

Passo 3

Achar a frequência natural omegan pelo tempo de acomodação de 4 s.
  1. Fórmula do tempo de acomodação (2 %): Ts approx 4zeta,omegan
    2) Substituímos Ts=4 s e zeta=0,69:
    4 = 40,69;omeganLongrightarrow omegan = 40,69cdot 4 = 42,76approx 1,45;rad/s

Passo 4

Determinar os polos usando zeta e omegan.
A fórmula dos polos é
s1,2 = -zeta,omegan pm j,omeganraiz1-zeta^2
1) Calculamos a parte real:
-zeta,omegan = -0,69times1,45approx -1,00
  1. Calculamos a parte imaginária:

Resposta

Os polos que satisfazem as especificações são, em rad/s:
s1,2 approx -1,00 pm j,1,05,

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