Questão 04 -

Dois fótons, cada um de energia E, colidem em um ângulo \theta e criam uma partícula de massa M. Considere a velocidade da luz no vácuo como sendo c . O valor de M é expresso corretamente por
(a) \frac{2 E}{c^{2}} \sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}.
(b) \frac{2 E}{c^{2}} \sqrt{1-\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}.
(c) \frac{2 E}{c^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right).
(d) \frac{2 E}{c^{2}} \cos \left(\frac{\theta}{2}\right).
(e) \frac{2 E}{c^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 1

O enunciado diz que dois fótons, cada um com energia E, colidem formando uma partícula de massa M. Eles se aproximam com ângulo \theta entre suas direções de propagação. O conteúdo principal aqui é usar o quadrivetor-momento e a quantidade invariante
(p_1 + p_2)^2 = M^2 c^2,
onde p_1 e p_2 são os quadrivetores dos fótons.

Passo 2

Cada fóton tem quadrivetor p_i = \bigl(\tfrac{E}{c},\;\mathbf{p}_i\bigr) com \|\mathbf{p}_i\| = \tfrac{E}{c}. O produto escalar dos quadrivetores vale
p_1 \cdot p_2 = \frac{E^2}{c^2}\bigl(1 - \cos\theta\bigr),
pois para fótons p_1^2=p_2^2=0 e o ângulo entre \mathbf{p}_1 e \mathbf{p}_2 é \theta.

Passo 3

Usando
(p_1 + p_2)^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2\,p_1\cdot p_2
e sabendo que p_1^2=p_2^2=0, obtemos
M^2 c^2 = 2\,p_1\cdot p_2 = 2\,\frac{E^2}{c^2}\bigl(1-\cos\theta\bigr).

Passo 4

Isolando M
M = \frac{E}{c^2}\sqrt{2\bigl(1-\cos\theta\bigr)}.
E usando a identidade trigonométrica
1 - \cos\theta = 2\sin^2\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)
segue
M = \frac{E}{c^2}\sqrt{2\cdot 2\sin^2\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)} = \frac{2E}{c^2}\sin\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

Resposta

(c) \displaystyle \frac{2 E}{c^{2}} \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

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