Questão 04. Encontre a solução da EDO
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução da EDO
Informações dadas:
Pergunta a responder: determinar a solução geral
da equação diferencial dada.
Passo 2
Vamos primeiro colocar a equação na forma
. Partindo de
somamos
e dividimos por
e por
:
Passo 3
Reescrevemos em forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui a equação está na forma
com
Breve explicação didática: uma EDO linear de primeira ordem tem essa forma; o método padrão é multiplicar por um fator integrante
que transforma o lado esquerdo em uma derivada exata
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
:
Integramos
. Usamos substituição simples
,
, então
Portanto
Expliquei: usei a propriedade
e as regras de logaritmo.
Passo 5
Multiplicamos a equação original em forma padrão por
. O lado esquerdo transforma-se em derivada de
. Verificação detalhada:
Calcule
para ver a igualdade:
Logo
e observamos que
Portanto, após multiplicar, obtemos
Passo 6
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Precisamos calcular
Um bom palpite (ou lembrança de integrais tabeladas) é testar a função
Vamos derivar
para verificar se obtenhamos o integrando:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Portanto
Usando isso na expressão do passo anterior:
Passo 8
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Aqui
é a constante arbitrária de integração (pode ser qualquer número real). Esta é a solução geral da EDO; se houver condição inicial, trocamos
para satisfazê-la.