Questão 04. Encontre a solução da EDO
\left(1+x^{2}\right) d y-k d x=x y d x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução da EDO
\left(1+x^{2}\right)\,dy - k\,dx = x y\,dx.
Informações dadas:
\text{(i) }x\text{ é a variável independente, }y=y(x)\text{ é a função desconhecida;}éáéçã
\text{(ii) }k\text{ é uma constante (dado do problema).}é
Pergunta a responder: determinar a solução geral y(x) da equação diferencial dada.

Passo 2

Vamos primeiro colocar a equação na forma dy/dx = \dots. Partindo de
\left(1+x^{2}\right)\,dy - k\,dx = x y\,dx
somamos k\,dx e dividimos por dx e por (1+x^2):
\left(1+x^{2}\right)\,dy = \bigl(k + x y\bigr)\,dx
\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{k + x y}{1+x^{2}}.

Passo 3

Reescrevemos em forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^{2}}\,y = \frac{k}{1+x^{2}}.
Aqui a equação está na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
com
P(x) = -\frac{x}{1+x^{2}},\qquad Q(x)=\frac{k}{1+x^{2}}.
Breve explicação didática: uma EDO linear de primeira ordem tem essa forma; o método padrão é multiplicar por um fator integrante \mu(x)=\exp\bigl(\int P(x)\,dx\bigr) que transforma o lado esquerdo em uma derivada exata \frac{d}{dx}(\mu y).

Passo 4

Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{x}{1+x^{2}}\,dx\right).
Integramos \int -\dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx. Usamos substituição simples u=1+x^2, du=2x\,dx, então
\int -\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{2}\ln(1+x^{2}).
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})\right)=(1+x^{2})^{-1/2}.
Expliquei: usei a propriedade \exp(\ln A)=A e as regras de logaritmo.

Passo 5

Multiplicamos a equação original em forma padrão por \mu(x)=(1+x^{2})^{-1/2}. O lado esquerdo transforma-se em derivada de \mu y. Verificação detalhada:
\mu\frac{dy}{dx} + \mu P(x) y = (1+x^{2})^{-1/2}\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^{2}}(1+x^{2})^{-1/2}y.
Calcule \mu'(x) para ver a igualdade:
\mu'(x)=\frac{d}{dx}(1+x^{2})^{-1/2} = -\frac{1}{2}(1+x^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -x(1+x^{2})^{-3/2}.
Logo
\mu'(x)y = -x(1+x^{2})^{-3/2}y,
e observamos que
\mu\frac{dy}{dx} + \mu'(x)y = \frac{d}{dx}\bigl(\mu y\bigr).
Portanto, após multiplicar, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl((1+x^{2})^{-1/2}y\bigr) = k(1+x^{2})^{-3/2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
(1+x^{2})^{-1/2}y = k\int (1+x^{2})^{-3/2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Precisamos calcular
I=\int (1+x^{2})^{-3/2}\,dx.
Um bom palpite (ou lembrança de integrais tabeladas) é testar a função
F(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Vamos derivar F(x) para verificar se obtenhamos o integrando:
F'(x)=\frac{1\cdot\sqrt{1+x^{2}} - x\cdot\frac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x}{1+x^{2}} = \frac{\sqrt{1+x^{2}} - \dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1+x^{2}-x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{1}{(1+x^{2})^{3/2}}.
Portanto
\int (1+x^{2})^{-3/2}\,dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} + \text{const.}
Usando isso na expressão do passo anterior:
(1+x^{2})^{-1/2}y = k\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} + C.

Passo 8

Multiplicamos ambos os lados por \sqrt{1+x^{2}} para isolar y:
y = kx + C\sqrt{1+x^{2}}.
Aqui C é a constante arbitrária de integração (pode ser qualquer número real). Esta é a solução geral da EDO; se houver condição inicial, trocamos C para satisfazê-la.

Resposta

y = kx + C\sqrt{1+x^{2}}

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