Questão 01. Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{-2 x}
a) Encontre a solução da equação homogênea.
b) Determine a solução geral.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
A equação diferencial dada é
y'' + 4y' + 4y = e^{-2x}.
O enunciado pede:
a) Encontrar a solução da equação homogênea associada.
b) Determinar a solução geral (homogênea + particular).
Informações relevantes: é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^{-2x}. Nada mais é pedido além de escrever as soluções gerais com constantes arbitrárias.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada.
A equação homogênea é
y'' + 4y' + 4y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos a equação polinomial em r:
r^{2} + 4r + 4 = 0.
Agora resolvemos esse polinômio. Observamos que é um quadrado perfeito:
r^{2} + 4r + 4 = (r+2)^{2}.
Logo temos uma raiz dupla
r = -2 \quad\text{(multiplicidade 2)}.
Quando a raiz r=-2 tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são e^{-2x} e x e^{-2x}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}x\bigr)e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
(Explicação rápida do porquê: para uma raiz simples r as soluções são e^{rx}; para multiplicidade m usamos e^{rx}, x e^{rx}, x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx} para obter m soluções linearmente independentes.)

Passo 3

Escolher o método para achar uma solução particular.
O termo do lado direito é e^{-2x}, uma exponencial. O método apropriado é o método dos coeficientes a determinar (método dos palpites): buscamos uma função da forma P(x)e^{-2x}, onde P(x) é um polinômio. Contudo, como e^{-2x} corresponde à raiz r=-2 da característica e essa raiz tem multiplicidade 2, devemos multiplicar pela potência de x igual à multiplicidade (ou melhor: pelo menor x^{s} que torne o palpite linearmente independente das soluções homogêneas). Aqui s=2. Como o polinômio de partida é constante (grau 0), fazemos o palpite
y_{p}(x) = C x^{2} e^{-2x},
onde C é constante a determinar.

Passo 4

Calcular y_{p}', y_{p}'' passo a passo.
Começamos com
y_{p} = C x^{2} e^{-2x}.
Derivando (usar produto duas vezes):
y_{p}' = C\frac{d}{dx}\bigl(x^{2} e^{-2x}\bigr) = C\bigl(2x e^{-2x} + x^{2}(-2)e^{-2x}\bigr) = 2C e^{-2x}\bigl(x - x^{2}\bigr).
Derivando de novo:
y_{p}'' = 2C\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}(x - x^{2})\bigr) = 2C\bigl((1-2x)e^{-2x} + (x - x^{2})(-2)e^{-2x}\bigr).
Agora simplificamos os termos dentro do parêntese:
(1-2x) - 2(x - x^{2}) = 1 -2x -2x +2x^{2} = 1 -4x +2x^{2}.
Portanto
y_{p}'' = 2C e^{-2x}\bigl(1 -4x +2x^{2}\bigr).

Passo 5

Substituir y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação e determinar C.
A soma dos termos da equação é
y_{p}'' + 4y_{p}' + 4y_{p} = 2C e^{-2x}\bigl(1 -4x +2x^{2}\bigr) + 4\cdot 2C e^{-2x}\bigl(x - x^{2}\bigr) + 4\cdot C x^{2} e^{-2x}.
Colocando fator comum 2C e^{-2x} (ou simplesmente e^{-2x}) e somando coeficientes:
\begin{aligned} &2C\bigl(1 -4x +2x^{2}\bigr) + 8C\bigl(x - x^{2}\bigr) + 4C x^{2} \\\ &= 2C\bigl(1 -4x +2x^{2}\bigr) + 8C x -8C x^{2} + 4C x^{2}\\\ &= 2C + (-8C x + 8C x) + (4C x^{2} -8C x^{2} +4C x^{2}) \\\ &= 2C. \end{aligned}
Logo
y_{p}'' + 4y_{p}' + 4y_{p} = 2C e^{-2x}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito e^{-2x}. Assim
2C e^{-2x} = e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad 2C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Escrever a solução particular encontrada e montar a solução geral.
Com C=\tfrac{1}{2} temos
y_{p}(x) = \tfrac{1}{2} x^{2} e^{-2x}.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}x\bigr)e^{-2x} + \tfrac{1}{2}x^{2} e^{-2x}.
Podemos fatorar e^{-2x}:
y(x) = e^{-2x}\!\left(C_{1} + C_{2}x + \tfrac{1}{2}x^{2}\right),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

a) y_{h}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-2x}.
b) y(x)=e^{-2x}\!\left(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{2}x^{2}\right).

Exercícios relacionados