Questão 01. Considere a equação diferencial
a) Encontre a solução da equação homogênea.
b) Determine a solução geral.
b) Determine a solução geral.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
A equação diferencial dada é
O enunciado pede:
a) Encontrar a solução da equação homogênea associada.
b) Determinar a solução geral (homogênea + particular).
a) Encontrar a solução da equação homogênea associada.
b) Determinar a solução geral (homogênea + particular).
Informações relevantes: é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. Nada mais é pedido além de escrever as soluções gerais com constantes arbitrárias.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada.
A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação polinomial em
:
Agora resolvemos esse polinômio. Observamos que é um quadrado perfeito:
Logo temos uma raiz dupla
Quando a raiz
tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
(Explicação rápida do porquê: para uma raiz simples
as soluções são
; para multiplicidade
usamos
para obter
soluções linearmente independentes.)
Passo 3
Escolher o método para achar uma solução particular.
O termo do lado direito é
, uma exponencial. O método apropriado é o método dos coeficientes a determinar (método dos palpites): buscamos uma função da forma
, onde
é um polinômio. Contudo, como
corresponde à raiz
da característica e essa raiz tem multiplicidade 2, devemos multiplicar pela potência de
igual à multiplicidade (ou melhor: pelo menor
que torne o palpite linearmente independente das soluções homogêneas). Aqui
. Como o polinômio de partida é constante (grau 0), fazemos o palpite
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Começamos com
Derivando (usar produto duas vezes):
Derivando de novo:
Agora simplificamos os termos dentro do parêntese:
Portanto
Passo 5
Substituir
na equação e determinar
.
A soma dos termos da equação é
Colocando fator comum
(ou simplesmente
) e somando coeficientes:
Logo
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Assim
Passo 6
Escrever a solução particular encontrada e montar a solução geral.
Com
temos
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Podemos fatorar
:
com
constantes arbitrárias.
Resposta
a)
b)
b)