Questão 02. Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=2 \operatorname{sen}(3 x)
a) Encontre a solução da equação homogênea.
b) Determine a solução geral.

Passo 1

Enunciado e perguntas — A equação diferencial dada é
y''-y'+y=2\operatorname{sen}(3x).
O que o exercício pede:
  • (a) Encontre a solução da equação homogênea associada.
  • (b) Determine a solução geral da equação não-homogênea (ou seja, solução geral da equação dada).
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
\text{E.D.: }y''-y'+y=2\operatorname{sen}(3x).
Não há outras informações adicionais (condições iniciais) — portanto a solução geral dependerá de constantes arbitrárias.

Passo 2

Como começar (ideia usada para a homogênea) — quando temos uma equação diferencial linear de coeficientes constantes homogênea de segunda ordem, uma técnica padrão é procurar soluções da forma
y=\mathrm{e}^{rx},
onde r é uma constante a determinar. Essa forma é usada porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por constantes, o que nos leva a uma equação algébrica para r.

Passo 3

Formar a equação característica — substituindo y=\mathrm{e}^{rx} em y''-y'+y=0 (equação homogênea) obtemos:
r^2\mathrm{e}^{rx}-r\mathrm{e}^{rx}+\mathrm{e}^{rx}=0.
Como \mathrm{e}^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por \mathrm{e}^{rx} e obter a equação característica
r^2-r+1=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática — calculamos as raízes da quadrática
r^2-r+1=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
r=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1}{2}\pm\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas \displaystyle r=\alpha\pm\mathrm{i}\beta com \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Converter raízes complexas para solução real da homogênea — quando as raízes da característica são \alpha\pm\mathrm{i}\beta, a solução geral real da homogênea é
y_h(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aplicando com \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2} obtemos
y_h(x)=\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big).

Passo 6

Escolher um método para a solução particular — queremos uma solução particular y_p da equação não-homogênea
y''-y'+y=2\operatorname{sen}(3x).
Uma técnica prática é o método dos coeficientes indeterminados: como o termo forçante é uma combinação de seno e cosseno com frequência 3, tentamos uma solução particular da forma
y_p(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x),
onde A e B são constantes a determinar. Observação importante: precisamos verificar se essa forma coincide com alguma solução da homogênea (ressonância). A frequência da homogênea é \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, que não é igual a 3, portanto não há ressonância e o ansatz acima é adequado.

Passo 7

Calcular derivadas de y_p — derivamos termo a termo:
y_p(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x),
y_p'(x)=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x),
y_p''(x)=-9A\cos(3x)-9B\sin(3x).

Passo 8

Substituir y_p,y_p',y_p'' na equação e coletar termos — substituindo em y''-y'+y:
y_p''-y_p'+y_p = (-9A\cos(3x)-9B\sin(3x)) -(-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)) + (A\cos(3x)+B\sin(3x)).
Agora juntamos os coeficientes de \cos(3x) e \sin(3x) separadamente.
Coeficiente de \cos(3x):
-9A - 3B + A = (-9A + A) - 3B = -8A - 3B.
Coeficiente de \sin(3x):
-9B + 3A + B = (-9B + B) + 3A = -8B + 3A.
Portanto
y_p''-y_p'+y_p = (-8A-3B)\cos(3x) + (3A-8B)\sin(3x).
Queremos que isso seja igual a 2\sin(3x), ou seja:
(-8A-3B)\cos(3x) + (3A-8B)\sin(3x) = 0\cdot\cos(3x) + 2\cdot\sin(3x).

Passo 9

Formar e resolver o sistema para A,B\) — igualando coeficientes obtemos o sistema linear \[\begin{cases} -8A-3B=0,\\[4pt] 3A-8B=2. \end{cases}
Da primeira equação tiramos -8A=3B\], então \[B=-\frac{8}{3}A.\] Substituindo na segunda: \[3A-8\left(-\frac{8}{3}A\right)=2.\] Calcule o segundo termo: \(-8)(-8/3)A=64/3 A. Então
3A+\frac{64}{3}A=2.
Colocando no mesmo denominador:
\frac{9A+64A}{3}=2 \quad\Rightarrow\quad \frac{73A}{3}=2.
Multiplicando ambos os lados por 3:
73A=6 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{6}{73}.
Agora B=-\dfrac{8}{3}A=-\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{6}{73}=-\dfrac{48}{219}. Simplificando por 3 no numerador e denominador:
B=-\frac{16}{73}.]

Passo 10

Escrever a solução particular e a solução geral — com A e B encontrados,
y_p(x)=\frac{6}{73}\cos(3x)-\frac{16}{73}\sin(3x).
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big)+\frac{6}{73}\cos(3x)-\frac{16}{73}\sin(3x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais.

Resposta

(a) \displaystyle y_h(x)=\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big).\n
(b) \displaystyle y(x)=\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big)+\frac{6}{73}\cos(3x)-\frac{16}{73}\sin(3x).

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