Questão 02. Considere a equação diferencial
a) Encontre a solução da equação homogênea.
b) Determine a solução geral.
b) Determine a solução geral.
Passo 1
Enunciado e perguntas — A equação diferencial dada é
O que o exercício pede:
- (a) Encontre a solução da equação homogênea associada.
- (b) Determine a solução geral da equação não-homogênea (ou seja, solução geral da equação dada).
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
Não há outras informações adicionais (condições iniciais) — portanto a solução geral dependerá de constantes arbitrárias.
Passo 2
Como começar (ideia usada para a homogênea) — quando temos uma equação diferencial linear de coeficientes constantes homogênea de segunda ordem, uma técnica padrão é procurar soluções da forma
onde
é uma constante a determinar. Essa forma é usada porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por constantes, o que nos leva a uma equação algébrica para
.
Passo 3
Formar a equação característica — substituindo
em
(equação homogênea) obtemos:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 4
Resolver a equação quadrática — calculamos as raízes da quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas
com
e
.
Passo 5
Converter raízes complexas para solução real da homogênea — quando as raízes da característica são
, a solução geral real da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aplicando com
e
obtemos
Passo 6
Escolher um método para a solução particular — queremos uma solução particular
da equação não-homogênea
Uma técnica prática é o método dos coeficientes indeterminados: como o termo forçante é uma combinação de seno e cosseno com frequência
, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Observação importante: precisamos verificar se essa forma coincide com alguma solução da homogênea (ressonância). A frequência da homogênea é
, que não é igual a
, portanto não há ressonância e o ansatz acima é adequado.
Passo 7
Calcular derivadas de
— derivamos termo a termo:
Passo 8
Substituir
na equação e coletar termos — substituindo em
:
Agora juntamos os coeficientes de
e
separadamente.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Queremos que isso seja igual a
, ou seja:
Passo 9
Formar e resolver o sistema para
Da primeira equação tiramos
. Então
Colocando no mesmo denominador:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora
Simplificando por
no numerador e denominador:
Passo 10
Escrever a solução particular e a solução geral — com
e
encontrados,
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias reais.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)