Questão 04 - Em uma estação de tratamento de água (ETA) existem dois decantadores, cada um com as seguintes dimensões: 6 times 18 m e superfície livre máxima da água de 1,80 m do fundo. Para a manutenção, em cada decantador, existe uma comporta quadrada de 0,20 m de lado localizada junto ao fundo. Determine a vazão inicial do orifício, com a comporta completamente aberta, e o tempo necessário para o esvaziamento total do decantador.

Passo 1

O enunciado descreve um decantador de base 6times18 m (área da seção horizontal), altura máxima da lâmina de água H0=1,80 m e uma comporta quadrada de lado 0,20 m junto ao fundo. Vamos determinar (a) a vazão inicial pelo orifício e (b) o tempo de esvaziamento total usando a equação de Torricelli e a equação de vazão variável num reservatório.

Passo 2

Calculamos as áreas envolvidas:
A área do tanque é
At = 6 times 18 = 108 m^2
A área do orifício (comporta aberta) é
Ao = (0,20)^2 = 0,04 m^2

Passo 3

Pela fórmula de Torricelli, a velocidade de saída é
v = raiz2,g,H0,
com g=9,81 m/s^2. Assim,
v = raiz2 times 9,81 times 1,80 approx 5,945 m/s
Adotando coeficiente de descarga típico Cd=0,6, a vazão inicial é
Q0 = Cd,Ao,raiz2,g,H0 =0,6times0,04times5,945approx0,143 m^3/s

Passo 4

Para o esvaziamento, usamos a equação de continuidade
At,dHdt = -Cd,Ao,raiz2,g,H!
Separamos as variáveis e integramos de H=H0 até H=0:
integralH0^0 !H^-1/2dH = -Cd,Aoraiz2gAtintegral0^t !dt ;Longrightarrow; 2raizH0 = Cd,Aoraiz2gAt,t
Logo,
t = 2,At,raizH0Cd,Ao,raiz2,g

Passo 5

Substituindo os valores,
t = 2times108timesraiz1,800,6times0,04timesraiz2times9,81 approx 2,726times10^3 s approx 45,4 min

Resposta

Vazão inicial: Q0approx0,143 m^3/s.
Tempo de esvaziamento: tapprox45,4 min.

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