Questão 08 - A aceleração de uma partícula é dada por \mathrm{a}=-\mathrm{kt}^{2}, onde a está em metros por segundo ao quadrado, k é uma constante e s esta em metros. Determine a velocidade da partícula como uma função de sua posição s . Avalie sua expressão para \mathrm{s}=5 \mathrm{~m} se \mathrm{k}=0,1 \mathrm{m}^{-1} \mathrm{~s}^{-2} e as condições iniciais no instante \mathrm{t}=0 são \mathrm{s}_{0}=3 \mathrm{me} \mathrm{v} 0=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados:
a(t)=-k\,t^{2},
onde a é aceleração em \mathrm{m/s^{2}}, k é uma constante, t é o tempo em segundos. Condições iniciais no instante t=0:
s(0)=s_{0},\qquad v(0)=v_{0}.
Perguntas:
  1. Determinar a velocidade da partícula como função da sua posição s (ou seja, obter v em função de s).
  2. Avaliar essa expressão (ou obter o valor numérico de v) para s=5\\ \mathrm{m} quando k=0{,}1\\ \mathrm{m^{-1}s^{-2}}, s_{0}=3\\ \mathrm{m} e v_{0}=10\\ \mathrm{m/s}.
Observação: aqui a aceleração é dada como função do tempo t. Para obter v em função de s é preciso primeiro obter v(t) e s(t) e então eliminar t (ou apresentar relação implícita ou paramétrica entre v e s). Vou proceder passo a passo e explicar cada fórmula usada.

Passo 2

Relação básica e integração para obter v(t).
Conceito usado: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Aqui temos \dfrac{dv}{dt}=-k\,t^{2}. Integramos em t para obter v(t). Ao integrar, a constante de integração é o valor inicial da velocidade v(0)=v_{0}.
Integração:
\frac{dv}{dt}=-k\,t^{2}\quad\Rightarrow\quad dv=-k\,t^{2}\,dt.
Integrando ambos os lados de t=0 até t e v=v_{0} até v(t):
\int_{v_{0}}^{v(t)} dv = -k\int_{0}^{t} \tau^{2}\,d\tau.
O lado direito dá -k\left[\dfrac{\tau^{3}}{3}\right]_{0}^{t}=-\dfrac{k}{3}t^{3}. Portanto
v(t)=v_{0}-\frac{k}{3}\,t^{3}.
Explicação das variáveis: v(t) é a velocidade no tempo t; v_{0}=v(0) é velocidade inicial.

Passo 3

Obter s(t) integrando v(t)=\dfrac{ds}{dt}.
Relação: velocidade é derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Substituindo v(t) que encontramos:
\frac{ds}{dt}=v_{0}-\frac{k}{3}\,t^{3}.
Integramos em t com s(0)=s_{0}:
s(t)-s_{0}=\int_{0}^{t}\left(v_{0}-\frac{k}{3}\tau^{3}\right)d\tau = v_{0}t - \frac{k}{3}\cdot\frac{t^{4}}{4}.
Simplificando o fator:
s(t)=s_{0}+v_{0}t-\frac{k}{12}\,t^{4}.
Esta é a posição em função do tempo. Agora temos as duas expressões paramétricas úteis:
v(t)=v_{0}-\frac{k}{3}t^{3},\qquad s(t)=s_{0}+v_{0}t-\frac{k}{12}t^{4}.

Passo 4

Eliminar t para relacionar v e s (obter v em função de s) — manipulação algébrica.
Do passo anterior, a partir de v(t) isolamos t^{3}:
t^{3}=\frac{3(v_{0}-v)}{k},
onde aqui escrevemos v para v(t). Agora escrevemos s-s_{0} usando t:
s-s_{0}=v_{0}t-\frac{k}{12}t^{4}.
Observe que t^{4}=t\cdot t^{3}. Substituindo t^{3} na expressão de s-s_{0}:
s-s_{0}=v_{0}t-\frac{k}{12}\,t\cdot t^{3} = t\left(v_{0}-\frac{k}{12}t^{3}\right).
Usando t^{3}=\dfrac{3(v_{0}-v)}{k} temos
\frac{k}{12}t^{3}=\frac{k}{12}\cdot\frac{3(v_{0}-v)}{k}=\frac{1}{4}(v_{0}-v).
Portanto
s-s_{0}=t\left(v_{0}-\frac{1}{4}(v_{0}-v)\right) = t\left(\frac{3}{4}v_{0}+\frac{1}{4}v\right).
Isolando t via t^{3} (tomando a raiz cúbica) obtemos a relação implícita entre s e v:
t=\left(\frac{3(v_{0}-v)}{k}\right)^{1/3},
logo
\boxed{\,s-s_{0}=\frac{3v_{0}+v}{4}\left(\frac{3(v_{0}-v)}{k}\right)^{1/3}.}
Isto é uma expressão que relaciona v e s. Interpretação: é uma relação implícita para v em função de s. Para obter v(s) explicitamente é preciso resolver uma equação algébrica de grau 4 (resulta em polinômio de grau 4 em w=v_{0}-v), o que não é prático em forma fechada simples; por isso é comum trabalhar com a forma paramétrica (v(t),s(t)) ou com a relação implícita acima e, para casos numéricos, resolver numericamente por t ou por v.
Resumo prático (duas formas equivalentes de apresentar a solução):
  • Forma paramétrica (muito útil em prova): \;v(t)=v_{0}-\dfrac{k}{3}t^{3} e \;s(t)=s_{0}+v_{0}t-\dfrac{k}{12}t^{4}.
  • Relação implícita entre v e s: \;s-s_{0}=\dfrac{3v_{0}+v}{4}\left(\dfrac{3(v_{0}-v)}{k}\right)^{1/3}.

Passo 5

Avaliação numérica para s=5\\ \mathrm{m}, k=0{,}1\\ \mathrm{m^{-1}s^{-2}}, s_{0}=3\\ \mathrm{m}, v_{0}=10\\ \mathrm{m/s}.
Método prático (mais simples): primeiro resolver para t a equação s(t)=s_{0}+v_{0}t-\dfrac{k}{12}t^{4}, pois é só um desconhecido t. Depois calcular v(t)=v_{0}-\dfrac{k}{3}t^{3}.
Substituindo os valores:
s-s_{0}=5-3=2,
e com k=0{,}1 a equação para t é
2=10t-\frac{0{,}1}{12}t^{4}=10t-\frac{1}{120}t^{4}.
Esta é uma equação do tipo t^{4}-1200t+240=0, que pode ser resolvida numericamente. Como deslocamento pequeno, uma boa primeira aproximação é desprezar o termo t^{4} (muito pequeno para t pequeno), dando
t\approx\frac{s-s_{0}}{v_{0}}=\frac{2}{10}=0{,}2\\ \text{s}.
Verificação com o termo t^{4}:
s(t)=10\cdot 0{,}2-\frac{1}{120}\cdot(0{,}2)^{4}=2-\frac{1}{120}\cdot 0{,}0016 =2-0{,}000013333\approx 1{,}999986667,
diferença muito pequena ( \sim 1{,}3\times10^{-5}). Podemos refinar t com uma iteração de Newton, mas já vemos que t é muito próximo de 0{,}2\\ \mathrm{s}. Usando t=0{,}2\\ \mathrm{s} para calcular v:
v=v_{0}-\frac{k}{3}t^{3}=10-\frac{0{,}1}{3}\cdot(0{,}2)^{3}.
Calcule passo a passo:
t^{3}=(0{,}2)^{3}=0{,}008,
\frac{k}{3}t^{3}=\frac{0{,}1}{3}\cdot 0{,}008=0{,}033\overline{3}\times 0{,}008=0{,}0002666667,
v\approx 10-0{,}0002666667=9{,}9997333333\\ \mathrm{m/s}.
Se quisermos mais precisão, fazemos uma iteração de Newton para t a partir de t_{0}=0{,}2 com
f(t)=v_{0}t-\frac{k}{12}t^{4}-(s-s_{0}),\qquad f'(t)=v_{0}-\frac{k}{3}t^{3}.
Com t_{0}=0{,}2 tem-se f(t_{0})\approx -1{,}3333\times10^{-5} e f'(t_{0})\approx 9{,}999733333, correção \Delta t\approx 1{,}3334\times10^{-6}, resultando em t\approx 0{,}2000013333. Recalculando v com este t dá essencialmente o mesmo valor, diferindo na 7ª casa decimal. Logo o valor numérico de v para s=5 é
v\approx 9{,}99973333\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\displaystyle s-s_{0}=\frac{3v_{0}+v}{4}\left(\frac{3(v_{0}-v)}{k}\right)^{1/3} (relação implícita entre v e s),\newline
\displaystyle v(s=5\\ \mathrm{m})\approx 9{,}99973333\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados