Questão 08 - A aceleração de uma partícula é dada por
, onde a está em metros por segundo ao quadrado, k é uma constante e s esta em metros. Determine a velocidade da partícula como uma função de sua posição s . Avalie sua expressão para
se
e as condições iniciais no instante
são
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados:
onde
é aceleração em
,
é uma constante,
é o tempo em segundos. Condições iniciais no instante
:
Perguntas:
- Determinar a velocidade da partícula como função da sua posição
(ou seja, obter em função de ). - Avaliar essa expressão (ou obter o valor numérico de
) para quando , e .
Observação: aqui a aceleração é dada como função do tempo
. Para obter
em função de
é preciso primeiro obter
e
e então eliminar
(ou apresentar relação implícita ou paramétrica entre
e
). Vou proceder passo a passo e explicar cada fórmula usada.
Passo 2
Relação básica e integração para obter
.
Conceito usado: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Aqui temos
. Integramos em
para obter
. Ao integrar, a constante de integração é o valor inicial da velocidade
.
Integração:
Integrando ambos os lados de
até
e
até
:
O lado direito dá
. Portanto
Explicação das variáveis:
é a velocidade no tempo
;
é velocidade inicial.
Passo 3
Obter
integrando
.
Relação: velocidade é derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo
que encontramos:
Integramos em
com
:
Simplificando o fator:
Esta é a posição em função do tempo. Agora temos as duas expressões paramétricas úteis:
Passo 4
Eliminar
para relacionar
e
(obter
em função de
) — manipulação algébrica.
Do passo anterior, a partir de
isolamos
:
onde aqui escrevemos
para
. Agora escrevemos
usando
:
Observe que
. Substituindo
na expressão de
:
Usando
temos
Portanto
Isolando
via
(tomando a raiz cúbica) obtemos a relação implícita entre
e
:
logo
Isto é uma expressão que relaciona
e
. Interpretação: é uma relação implícita para
em função de
. Para obter
explicitamente é preciso resolver uma equação algébrica de grau 4 (resulta em polinômio de grau 4 em
), o que não é prático em forma fechada simples; por isso é comum trabalhar com a forma paramétrica
ou com a relação implícita acima e, para casos numéricos, resolver numericamente por
ou por
.
Resumo prático (duas formas equivalentes de apresentar a solução):
- Forma paramétrica (muito útil em prova):
e - Relação implícita entre
e :
Passo 5
Avaliação numérica para
,
,
,
.
Método prático (mais simples): primeiro resolver para
a equação
, pois é só um desconhecido
. Depois calcular
.
Substituindo os valores:
e com
a equação para
é
Esta é uma equação do tipo
, que pode ser resolvida numericamente. Como deslocamento pequeno, uma boa primeira aproximação é desprezar o termo
(muito pequeno para
pequeno), dando
Verificação com o termo
:
diferença muito pequena (
). Podemos refinar
com uma iteração de Newton, mas já vemos que
é muito próximo de
. Usando
para calcular
:
Calcule passo a passo:
Se quisermos mais precisão, fazemos uma iteração de Newton para
a partir de
com
Com
tem-se
e
, correção
, resultando em
. Recalculando
com este
dá essencialmente o mesmo valor, diferindo na 7ª casa decimal. Logo o valor numérico de
para
é