Questão 04: Ondas estacionárias

Uma corda oscila de acordo com a equação y=7 sin (12 x) cos (6 t), onde as unidades estão no SI. Quais são (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação? (c) Qual é a distância entre os nós? (d) Qual é a velocidade de uma partícula da corda no ponto x=52,4 cm ?
Resp: (a) 3,5 m, (b) 0,5 m / s, (c) 26,2 cm, (d) 0 .

Passo 1

O enunciado dá a forma de uma onda estacionária na corda
y(x,t) = 7 sin(12 x),cos(6 t)
Aqui reconhecemos que este é o produto de duas ondas viajantes de mesma amplitude e frequência, criando nós e ventres. Vamos achar: (a) a amplitude A, (b) a velocidade de cada onda viajante v, (c) a distância entre nós De<a x, e (d) a velocidade transversal de uma partícula em x=52,4:cm.

Passo 2

Para identificar a amplitude, comparamos
y(x,t)=7sin(12x)cos(6t)
com a forma padrão
y(x,t)=2Asin(kx)cos(omega t)
Daí 2A=7, logo
A = 72 = 3,5:m

Passo 3

O número de onda é k=12:rad/m e a frequência angular é omega=6:rad/s. A velocidade de cada onda viajante é
v = omegak = 612 = 0,5:m/s

Passo 4

Os nós ocorrem onde sin(kx)=0, ou seja
k,x = npi Longrightarrow De<a x = xn+1-xn = pik = pi12approx0,2618:m=26,2:cm

Passo 5

A velocidade transversal de uma partícula é
vy = partial ypartial t = -7sin(12x);6sin(6t) = -42,sin(12x),sin(6t)
Em x=52,4:cm=0,524:m temos
12x =12cdot0,524=6,288:radapprox2pi,
logo sin(12x)=0 e portanto
vy=0(para todo (t))

Resposta

(a) 3,5:m
(b) 0,5:m/s
(c) 26,2:cm
(d) 0

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