Questão 03 (2,0 pontos). Faça o esboço e determine, por integral tripla, o volume de um sólido W situado no espaço tridimensional, delimitado superiormente pelo plano horizontal z=4 e inferiormente pelo paraboloide circular z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Fazer um esboço do sólido W.
  • Determinar, por integral tripla, o volume desse sólido.
As informações dadas são:
  • O sólido é limitado superiormente pelo plano horizontal z=4.
  • O sólido é limitado inferiormente pelo paraboloide circular z=x^{2}+y^{2}.
Ou seja: o sólido é a região do espaço compreendida entre a superfície de cima z=4 e a de baixo z=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Encontrar a curva de interseção entre as superfícies para saber a projeção no plano xy.
Para achar onde o paraboloide encontra o plano, igualamos as expressões de z:
x^{2}+y^{2}=4.
Essa equação é o círculo de raio 2 no plano xy. Logo, a projeção ortogonal do sólido no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Isso já nos dá os limites em x,y (se usássemos coordenadas cartesianas) ou, melhor ainda, nos sugere usar coordenadas polares/cilíndricas pela simetria radial.

Passo 3

Esboço do sólido W (como desenhar na prova):
  • Desenhe o eixo z vertical e o plano z=4 como uma “tampa” horizontal.
  • Desenhe o paraboloide z=x^{2}+y^{2} abrindo para cima a partir da origem; suas curvas de nível são círculos x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Marque a interseção na altura z=4: é o círculo de raio 2 (pois r^{2}=4\Rightarrow r=2).
  • O sólido é o “capo” entre o fundo parabólico e a tampa plana, acima do disco de raio 2.
(Se estiver desenhando à mão: faça a projeção circular no plano xy, depois trace uma parábola rotacionada que atinge z=4 naquele raio — fica parecido com uma tigela tampada.)

Passo 4

Escolha da integral e explicação do método (por que coordenadas polares/cilíndricas):
Para volume podemos usar a integral tripla
V=\iiint_{W} dV.
Uma forma prática é integrar primeiro em z, porque para um par fixo (x,y) a variável z varia entre a superfície inferior z=x^{2}+y^{2} e a superior z=4. Assim
V=\iint_{D}\left(\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{z=4} dz\right)dA =\iint_{D}\bigl(4-(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA,
onde D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Como D é um disco centrado na origem, usar coordenadas polares é o mais simples:
  • troca: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,
  • elemento de área: dA=r\,dr\,d\theta (esse r é o jacobiano da transformação; explicação: áreas elementares em polares ganham esse fator porque um pequeno retângulo dr\times r\,d\theta mede a área),
  • a função x^{2}+y^{2} vira r^{2}.
Portanto a integral fica
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\bigl(4-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo explícito da integral passo a passo:
Primeiro simplificamos o integrando:
(4-r^{2})r=4r-r^{3}.
Integramos em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(4r-r^{3})\,dr = \left[2r^{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}.
Calcule os termos:
2r^{2}\Big|_{0}^{2}=2\cdot(2)^{2}=2\cdot 4=8,
\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}=\frac{(2)^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4.
Subtraindo:
\int_{0}^{2}(4r-r^{3})\,dr = 8-4=4.
Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi:
V=\int_{0}^{2\pi} 4\, d\theta = 4\cdot(2\pi)=8\pi.

Passo 6

Interpretação do resultado e verificação rápida por outra forma:
  • O volume é 8\pi. Unidade depende das unidades de comprimento do enunciado (aqui está em unidades cúbicas).
  • Verificação alternativa (mesma ideia): executar a integral tripla diretamente em coordenadas cilíndricas como
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta,
integrar em z primeiro dá \int_{r^{2}}^{4} r\,dz = r(4-r^{2}), que conduz à mesma integral em r,\theta e ao mesmo resultado 8\pi.
Dica prática na prova: sempre procure a projeção no plano xy; se for um disco ou setor, pense imediatamente em coordenadas polares — isso costuma simplificar muito as contas.

Resposta

V=8\pi

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