Questão 03 (2,0 pontos). Faça o esboço e determine, por integral tripla, o volume de um sólido W situado no espaço tridimensional, delimitado superiormente pelo plano horizontal z=4 e inferiormente pelo paraboloide circular z=x^{2}+y^{2}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Fazer um esboço do sólido W.
Determinar, por integral tripla, o volume desse sólido.
As informações dadas são:
O sólido é limitado superiormente pelo plano horizontal z=4.
O sólido é limitado inferiormente pelo paraboloide circular z=x^{2}+y^{2}.
Ou seja: o sólido é a região do espaço compreendida entre a superfície de cima z=4 e a de baixo z=x^{2}+y^{2}.
Passo 2
Encontrar a curva de interseção entre as superfícies para saber a projeção no plano xy.
Para achar onde o paraboloide encontra o plano, igualamos as expressões de z:
x^{2}+y^{2}=4.
Essa equação é o círculo de raio 2 no plano xy. Logo, a projeção ortogonal do sólido no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Isso já nos dá os limites em x,y (se usássemos coordenadas cartesianas) ou, melhor ainda, nos sugere usar coordenadas polares/cilíndricas pela simetria radial.
Passo 3
Esboço do sólido W (como desenhar na prova):
Desenhe o eixo z vertical e o plano z=4 como uma “tampa” horizontal.
Desenhe o paraboloide z=x^{2}+y^{2} abrindo para cima a partir da origem; suas curvas de nível são círculos x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Marque a interseção na altura z=4: é o círculo de raio 2 (pois r^{2}=4\Rightarrow r=2).
O sólido é o “capo” entre o fundo parabólico e a tampa plana, acima do disco de raio 2.
(Se estiver desenhando à mão: faça a projeção circular no plano xy, depois trace uma parábola rotacionada que atinge z=4 naquele raio — fica parecido com uma tigela tampada.)
Passo 4
Escolha da integral e explicação do método (por que coordenadas polares/cilíndricas):
Para volume podemos usar a integral tripla
V=\iiint_{W} dV.
Uma forma prática é integrar primeiro em z, porque para um par fixo (x,y) a variável z varia entre a superfície inferior z=x^{2}+y^{2} e a superior z=4. Assim
Como D é um disco centrado na origem, usar coordenadas polares é o mais simples:
troca: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,
elemento de área: dA=r\,dr\,d\theta (esse r é o jacobiano da transformação; explicação: áreas elementares em polares ganham esse fator porque um pequeno retângulo dr\times r\,d\theta mede a área),
integrar em z primeiro dá \int_{r^{2}}^{4} r\,dz = r(4-r^{2}), que conduz à mesma integral em r,\theta e ao mesmo resultado 8\pi.
Dica prática na prova: sempre procure a projeção no plano xy; se for um disco ou setor, pense imediatamente em coordenadas polares — isso costuma simplificar muito as contas.