Questão 04 (2 pontos) O raio r de um cilindro circular reto está crescendo à taxa de 1 mm / min e altura h está decrescendo à taxa de 2 mm / min. Use a regra da cadeia para encontrar como está variando o volume desse cinlindro quando o raio mede 20 mm e altura 60 mm . (Sugestão: o volume V de um cilindro circular reto cujo raio da base é r e a altura é h é dado por V(r, h)=pi r^2 h )

Passo 1

O enunciado dá a variação do raio r(t) e da altura h(t) de um cilindro circular reto. Precisamos usar a regra da cadeia para encontrar dfracdVdt sabendo que
V(r,h)=pi r^2h,
dfracdrdt=1\ mm/min e que a altura está decrescendo a 2\ mm/min, isto é, dfracdhdt=-2\ mm/min, avaliando em r=20\ mm e h=60\ mm.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia em funções de duas variáveis:
dVdt =partial Vpartial r,drdt +partial Vpartial h,dhdt
Calculamos as derivadas parciais:
partial Vpartial r =2pi r,h, partial Vpartial h =pi r^2

Passo 3

Substituímos as parciais e as taxas:
dVdt =(2pi r,h)cdotdrdt +(pi r^2)cdotdhdt =2pi r,hcdot1+pi r^2cdot(-2)

Passo 4

Agora colocamos r=20 e h=60:
dVdt =2picdot20cdot60-2picdot20^2 =2400pi-800pi =1600pi(mm^3/min)

Resposta

dVdt=1600pi\ mm³/min

Exercícios relacionados