Questão 04: Seja a
tal que 2 não divide a e 3 não divide a. Prove que 12 | (a - a-1).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Seja
. - Tem-se
(ou seja, não é divisível por ). - Tem-se
(ou seja, não é divisível por ).
O que o problema pede:
- Provar que
.
Observação: escrevi explicitamente o que foi dado e o que se quer demonstrar para ficar claro o alvo da prova.
Passo 2
Breve explicação dos conceitos que vou usar (sem pular etapas):
- Dizemos
quando divide . Essa é a linguagem de congruências: por exemplo, significa que é múltiplo de . - Para provar que
é suficiente mostrar que e , porque e . Se dois números relativamente primos dividem um mesmo inteiro, então o produto deles também o divide. Vou usar isso depois de mostrar as divisibilidades separadas.
Passo 3
Prova de que
usando que
é ímpar (
):
- Se
, então é ímpar, logo pode ser escrito como para algum . - Calcule
:
- Da expressão acima vemos que
, ou seja, é múltiplo de . - Em linguagem de congruência, isso equivale a
. - Conclusão desta etapa:
.
Passo 4
Prova de que
usando que
:
- Como
, os restos possíveis de ao dividir por são ou . Em congruências:
- Se
, então . - Se
, então . - Em ambos os casos temos
, isto é, . - Conclusão desta etapa:
.
Passo 5
Combinação das duas divisibilidades para obter
:
- Já mostramos que
e . - Como
, se um número inteiro é múltiplo de e de simultaneamente, então é múltiplo de . (Isto decorre do fato que dois inteiros coprimos têm o mínimo múltiplo igual ao produto.) - Portanto
.
Passo 6
Uma explicação alternativa (útil para a prova na prova) usando fatoração:
- Note que
. - Se
é ímpar, então e são dois pares consecutivos; assim ambos são divisíveis por e um deles é divisível por . Logo o produto é divisível por . - Como
, entre , , um desses três é múltiplo de . Não pode ser por hipótese, logo ou ou é múltiplo de . Assim é múltiplo de . - Conclui-se novamente que
é múltiplo de e de , portanto múltiplo de .