Questão 04: Seja a \in \mathrm{Z} tal que 2 não divide a e 3 não divide a. Prove que 12 | (a - a-1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Seja a\in\mathbb{Z}.
  • Tem-se 2\nmid a (ou seja, a não é divisível por 2).
  • Tem-se 3\nmid a (ou seja, a não é divisível por 3).
O que o problema pede:
  • Provar que 12\mid\bigl(a^{2}-1\bigr).
Observação: escrevi explicitamente o que foi dado e o que se quer demonstrar para ficar claro o alvo da prova.

Passo 2

Breve explicação dos conceitos que vou usar (sem pular etapas):
  • Dizemos x\equiv y\pmod{n} quando n divide x-y. Essa é a linguagem de congruências: por exemplo, x\equiv 1\pmod{4} significa que x-1 é múltiplo de 4.
  • Para provar que 12\mid\bigl(a^{2}-1\bigr) é suficiente mostrar que 4\mid\bigl(a^{2}-1\bigr) e 3\mid\bigl(a^{2}-1\bigr), porque 12=\operatorname{lcm}(3,4) e \gcd(3,4)=1. Se dois números relativamente primos dividem um mesmo inteiro, então o produto deles também o divide. Vou usar isso depois de mostrar as divisibilidades separadas.

Passo 3

Prova de que 4\mid\bigl(a^{2}-1\bigr) usando que a é ímpar ( 2\nmid a):
  • Se 2\nmid a, então a é ímpar, logo pode ser escrito como a=2k+1 para algum k\in\mathbb{Z}.
  • Calcule a^{2}:
a^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=4\bigl(k^{2}+k\bigr)+1.
  • Da expressão acima vemos que a^{2}-1=4\bigl(k^{2}+k\bigr), ou seja, a^{2}-1 é múltiplo de 4.
  • Em linguagem de congruência, isso equivale a a^{2}\equiv 1\pmod{4}.
  • Conclusão desta etapa: 4\mid\bigl(a^{2}-1\bigr).

Passo 4

Prova de que 3\mid\bigl(a^{2}-1\bigr) usando que 3\nmid a:
  • Como 3\nmid a, os restos possíveis de a ao dividir por 3 são 1 ou 2. Em congruências:
a\equiv 1\pmod{3}\quad\text{ou}\quad a\equiv 2\pmod{3}.
  • Se a\equiv 1\pmod{3}, então a^{2}\equiv 1^{2}\equiv 1\pmod{3}.
  • Se a\equiv 2\pmod{3}, então a^{2}\equiv 2^{2}\equiv 4\equiv 1\pmod{3}.
  • Em ambos os casos temos a^{2}\equiv 1\pmod{3}, isto é, a^{2}-1\equiv 0\pmod{3}.
  • Conclusão desta etapa: 3\mid\bigl(a^{2}-1\bigr).

Passo 5

Combinação das duas divisibilidades para obter 12\mid\bigl(a^{2}-1\bigr):
  • Já mostramos que 4\mid\bigl(a^{2}-1\bigr) e 3\mid\bigl(a^{2}-1\bigr).
  • Como \gcd(3,4)=1, se um número inteiro é múltiplo de 3 e de 4 simultaneamente, então é múltiplo de 3\cdot 4=12. (Isto decorre do fato que dois inteiros coprimos têm o mínimo múltiplo igual ao produto.)
  • Portanto 12\mid\bigl(a^{2}-1\bigr).

Passo 6

Uma explicação alternativa (útil para a prova na prova) usando fatoração:
  • Note que a^{2}-1=(a-1)(a+1).
  • Se a é ímpar, então a-1 e a+1 são dois pares consecutivos; assim ambos são divisíveis por 2 e um deles é divisível por 4. Logo o produto (a-1)(a+1) é divisível por 4.
  • Como 3\nmid a, entre a-1, a, a+1 um desses três é múltiplo de 3. Não pode ser a por hipótese, logo ou a-1 ou a+1 é múltiplo de 3. Assim (a-1)(a+1) é múltiplo de 3.
  • Conclui-se novamente que (a-1)(a+1) é múltiplo de 3 e de 4, portanto múltiplo de 12.

Resposta

12\mid\bigl(a^{2}-1\bigr)

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