03: Seja a
tal que 2 | a e 7 | a. Prove que 14 | a.
Passo 1
O enunciado dá que
é um inteiro tal que
e
. A pergunta é: provar que
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
(ou seja, é múltiplo de ); -
(ou seja, é múltiplo de ).
Passo 2
Lembrete do que significa a notação de divisibilidade (para não assumirmos nada):
- Dizemos
quando existe um inteiro tal que .
Exemplo rápido:porque .
Passo 3
Usar as hipóteses para escrever
em forma fatorada:
- Como
, existe um inteiro tal que . - Como
, existe um inteiro tal que .
Passo 4
A partir de
e
obtemos
. Agora precisamos usar a propriedade: se um primo
divide um produto
e
não divide
, então
divide
. Esta é a famosa Lema de Euclides. Vamos demonstrá-la rapidinho (é curta e útil).
Lema de Euclides (prova): seja
primo e suponha
. Se
estamos feitos. Caso contrário,
não divide
, então
. Como
, existem inteiros
tais que
(identidade de Bézout). Multiplicando por
obtemos
. O termo
é múltiplo de
porque
; o termo
é múltiplo de
óbvio. Assim
é soma de múltiplos de
, logo
. Isso prova o lema.
Passo 5
Aplicar o lema ao nosso caso:
é primo,
. Note que
não divide
(pois
e
não é múltiplo de
), logo pelo Lema de Euclides segue que
. Portanto existe um inteiro
tal que
.
Passo 6
Voltar para
e substituir
:
Isso mostra que
é múltiplo de
, ou seja
.