03: Seja a \in \mathrm{Z} tal que 2 | a e 7 | a. Prove que 14 | a.

Passo 1

O enunciado dá que a é um inteiro tal que 2 \mid a e 7 \mid a. A pergunta é: provar que 14 \mid a.
Informações relevantes fornecidas:
  • 2 \mid a (ou seja, a é múltiplo de 2);
  • 7 \mid a (ou seja, a é múltiplo de 7).

Passo 2

Lembrete do que significa a notação de divisibilidade (para não assumirmos nada):
  • Dizemos m \mid n quando existe um inteiro k tal que n = m k.
    Exemplo rápido: 3 \mid 12 porque 12 = 3\cdot 4.

Passo 3

Usar as hipóteses para escrever a em forma fatorada:
  • Como 2 \mid a, existe um inteiro k tal que a = 2k.
  • Como 7 \mid a, existe um inteiro \ell tal que a = 7\ell.

Passo 4

A partir de a=2k e 7\mid a obtemos 7 \mid 2k. Agora precisamos usar a propriedade: se um primo p divide um produto b c e p não divide b, então p divide c. Esta é a famosa Lema de Euclides. Vamos demonstrá-la rapidinho (é curta e útil).
Lema de Euclides (prova): seja p primo e suponha p \mid bc. Se p \mid b estamos feitos. Caso contrário, p não divide b, então \gcd(b,p)=1. Como \gcd(b,p)=1, existem inteiros u,v tais que ub + vp = 1 (identidade de Bézout). Multiplicando por c obtemos ubc + vpc = c. O termo ubc é múltiplo de p porque p\mid bc; o termo vpc é múltiplo de p óbvio. Assim c é soma de múltiplos de p, logo p\mid c. Isso prova o lema.

Passo 5

Aplicar o lema ao nosso caso: 7 é primo, 7 \mid 2k. Note que 7 não divide 2 (pois 7>2 e 2 não é múltiplo de 7), logo pelo Lema de Euclides segue que 7 \mid k. Portanto existe um inteiro m tal que k = 7m.

Passo 6

Voltar para a = 2k e substituir k = 7m:
a = 2k = 2(7m) = 14m.
Isso mostra que a é múltiplo de 14, ou seja 14 \mid a.

Resposta

\;14\mid a

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