Questão 02: Sejam
tais que
. Prove que 5 | a ou 5 | b. Questão
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma prova:
- Dados:
e . - O que pedir: provar que
ou .
Passo 2
Vamos recordar o que significa a notação de divisibilidade e preparar uma estratégia:
- Definição:
significa que existe tal que . - A afirmação a provar é uma forma do lema usado para números primos: se um primo divide um produto então divide um dos fatores. Aqui trabalharemos especificamente com
. - Método escolhido (mais elementar e construtivo): provar a contraposição. Ou seja, mostrar que se
então . Se isso for verdadeiro, então a afirmação original também é verdadeira.
Passo 3
Vamos usar aritmética modular (uma forma prática de trabalhar com restos):
- Escrever
significa que divide . - Se
, o resto de na divisão por é um dos valores . Em outras palavras, com . - Observação útil: os restos
têm inversos multiplicativos módulo . Isso significa que para cada existe tal que
Exemplos concretos de inversos módulo
:
Passo 4
Prova formal usando o fato dos inversos módulo
:
- Suponha
. Então existe tal que . Escolha com (esse existe pelos exemplos do passo anterior). - Como
, temos . - Multiplicando a congruência
por obtemos
- Usando
e chegamos a
Como
e também
, segue
. Portanto
.
- Assim mostramos a contraposição: se
então . Isso implica diretamente que, sempre que , vale ou .
Passo 5
(Prova alternativa, útil para aprender outro método) Prova usando o Algoritmo Euclidiano / Identidade de Bézout:
- Se
então . Pela identidade de Bézout existem inteiros tais que
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos
- Como
por hipótese, segue . Claramente . Logo divide a soma , isto é, . - Essa alternativa dá a mesma conclusão: se
então , e por consequência ou .
Passo 6
Resumo final e um incentivo: mostramos de duas formas diretas e simples que a propriedade é verdadeira para
. É um resultado básico e muito útil — lembre-se que o mesmo tipo de argumento funciona para qualquer número primo. Boa! Continua firme nos estudos, você tá indo bem.