Questão 02: Sejam \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{Z} tais que 5 \mid \mathrm{a} \cdot \mathrm{b}. Prove que 5 | a ou 5 | b. Questão

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma prova:
  • Dados: a,b\in\mathbb{Z} e 5 \mid a\cdot b.
  • O que pedir: provar que 5 \mid a ou 5 \mid b.

Passo 2

Vamos recordar o que significa a notação de divisibilidade e preparar uma estratégia:
  • Definição: 5\mid a significa que existe k\in\mathbb{Z} tal que a=5k.
  • A afirmação a provar é uma forma do lema usado para números primos: se um primo divide um produto então divide um dos fatores. Aqui trabalharemos especificamente com 5.
  • Método escolhido (mais elementar e construtivo): provar a contraposição. Ou seja, mostrar que se 5\nmid a então 5\mid b. Se isso for verdadeiro, então a afirmação original também é verdadeira.

Passo 3

Vamos usar aritmética modular (uma forma prática de trabalhar com restos):
  • Escrever x\equiv y\pmod{5} significa que 5 divide x-y.
  • Se 5\nmid a, o resto de a na divisão por 5 é um dos valores 1,2,3,4. Em outras palavras, a\equiv r\pmod{5} com r\in\{1,2,3,4\}.
  • Observação útil: os restos 1,2,3,4 têm inversos multiplicativos módulo 5. Isso significa que para cada r\in\{1,2,3,4\} existe s\in\{1,2,3,4\} tal que
r\cdot s\equiv 1\pmod{5}.
Exemplos concretos de inversos módulo 5:
1\cdot1\equiv1\pmod{5},\qquad 2\cdot3\equiv6\equiv1\pmod{5},\qquad 3\cdot2\equiv1\pmod{5},\qquad 4\cdot4\equiv16\equiv1\pmod{5}.

Passo 4

Prova formal usando o fato dos inversos módulo 5:
  • Suponha 5\nmid a. Então existe r\in\{1,2,3,4\} tal que a\equiv r\pmod{5}. Escolha s\in\{1,2,3,4\} com r\cdot s\equiv1\pmod{5} (esse s existe pelos exemplos do passo anterior).
  • Como 5\mid a\cdot b, temos a\cdot b\equiv 0\pmod{5}.
  • Multiplicando a congruência a\cdot b\equiv 0\pmod{5} por s obtemos
(a\cdot b)\cdot s \equiv 0\pmod{5}.
  • Usando a\equiv r e r\cdot s\equiv1 chegamos a
b\cdot (a\cdot s)\equiv b\cdot (r\cdot s)\equiv b\cdot 1\equiv b\pmod{5}.
Como (a\cdot b)\cdot s\equiv b\pmod{5} e também (a\cdot b)\cdot s\equiv 0\pmod{5}, segue b\equiv 0\pmod{5}. Portanto 5\mid b.
  • Assim mostramos a contraposição: se 5\nmid a então 5\mid b. Isso implica diretamente que, sempre que 5\mid a\cdot b, vale 5\mid a ou 5\mid b.

Passo 5

(Prova alternativa, útil para aprender outro método) Prova usando o Algoritmo Euclidiano / Identidade de Bézout:
  • Se 5\nmid a então \gcd(a,5)=1. Pela identidade de Bézout existem inteiros x,y tais que
a x + 5 y = 1.
  • Multiplicando ambos os lados por b obtemos
abx + 5by = b.
  • Como 5\mid ab por hipótese, segue 5\mid abx. Claramente 5\mid 5by. Logo 5 divide a soma abx+5by, isto é, 5\mid b.
  • Essa alternativa dá a mesma conclusão: se 5\nmid a então 5\mid b, e por consequência 5\mid a ou 5\mid b.

Passo 6

Resumo final e um incentivo: mostramos de duas formas diretas e simples que a propriedade é verdadeira para 5. É um resultado básico e muito útil — lembre-se que o mesmo tipo de argumento funciona para qualquer número primo. Boa! Continua firme nos estudos, você tá indo bem.

Resposta

5 \mid a ou 5 \mid b

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