Questão 05 (1,5): Acredita-se que 25 % dos moradores das proximidades de uma grande siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos seja real (correto), calcule:
a) A probabilidade de que pelo menos 3 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que 25% dos moradores têm alergia e a gente vai escolher 13 ao acaso. A pergunta é: qual a probabilidade de pelo menos 3 deles serem alérgicos?
Conteúdo: distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  • Entender que o número de alérgicos em 13 tentativas segue P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^n-k .
  • A fórmula da probabilidade binomial:
  • Usar o “truque” de complementar para calcular .

Passo 2

Primeiro, revisando a binomial: quando temos P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^n-k “experimentos” independentes, cada um com probabilidade de “sucesso” (aqui, ser alérgico), a chance de termos exatamente sucessos é
  • conta de quantas formas escolher quais indivíduos são os alérgicos.
  • é a probabilidade de esses todos serem alérgicos.
  • é a probabilidade dos outros não o serem.

Passo 3

Vamos achar P(X=0)=binom130,(0.25)^0,(0.75)^13 =1cdot1cdot(0.75)^13 , P(X=1)=binom131,(0.25)^1,(0.75)^12 =13cdot0.25cdot(0.75)^12 e P(X=2)=binom132,(0.25)^2,(0.75)^11 =78cdot0.25^2cdot(0.75)^11 .
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora, calculando numericamente (aproximações):
P(X=0)approx0.75^13approx0.0238,
P(X=1)approx13cdot0.25cdot0.75^12approx0.1029,
P(X=2)approx78cdot0.25^2cdot0.75^11approx0.2059
Somando:
P(X<=2)=P(0)+P(1)+P(2)approx0.0238+0.1029+0.2059=0.3326

Passo 5

Como a gente quer “pelo menos 3”, usa complementar:
P(X>=3)=1 - P(X<=2) =1 - 0.3326 approx0.6674

Resposta

A probabilidade de pelo menos 3 moradores serem alérgicos é aproximadamente (ou 66,74%).

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