QUESTÃO 05: Para um cabo constituído por 7 fios de alumínio com 1 mm de raio cada fio, determine a resistência CC do cabo, por quilômetro e a 120^{\circ} \mathrm{C}.
Dados do cobre: \rho_{A l, 20 \mathrm{C}}=2,8 \times 10^{-8} \Omega m ; \alpha_{A l, 20 \mathrm{C}}=4,0 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a resistência CC de um cabo formado por 7 fios de alumínio, cada um com raio de 1 mm, para um comprimento de 1 km à temperatura de 120\,^\circ\mathrm{C}. O conteúdo principal é usar a fórmula
R = \frac{\rho\,L}{A}
e lembrar que a resistividade varia com a temperatura segundo
\rho(T) = \rho_{20}\bigl[1 + \alpha\,(T - 20\,^\circ\mathrm{C})\bigr].

Passo 2

Calculamos a área da seção reta de um fio e a área total do cabo. Cada fio tem raio r = 1 mm =0,001 m, logo
A_1 = \pi\,r^2 = \pi\,(0,001\,\text{m})^2 = \pi\times10^{-6}\,\text{m}^2.
Como há 7 fios em paralelo, a área total é
A = 7\,A_1 = 7\pi\times10^{-6}\,\text{m}^2.

Passo 3

A resistividade do alumínio a 20\,^\circ\mathrm{C} é \rho_{20}=2,8\times10^{-8}\,\Omega\mathrm{m} e o coeficiente \alpha=4,0\times10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}. Para T=120\,^\circ\mathrm{C} temos \Delta T=100\,^\circ\mathrm{C}, então
\rho(120) = 2,8\times10^{-8}\,\Omega\mathrm{m}\,\bigl[1 + 4,0\times10^{-3}\times100\bigr] =2,8\times10^{-8}\times1{,}4 =3,92\times10^{-8}\,\Omega\mathrm{m}.

Passo 4

Agora substituímos em R=\rho\,L/A com L=1\text{ km}=1000 m:
R = \frac{3,92\times10^{-8}\,\Omega\mathrm{m}\;\times1000\,\text{m}}{7\pi\times10^{-6}\,\text{m}^2} =\frac{3,92\times10^{-5}\,\Omega}{7\pi\times10^{-6}} \approx1{,}78\\ \Omega\text{/km}.

Resposta

A resistência CC do cabo é aproximadamente 1,78\\ \Omega por quilômetro à temperatura de 120\,^\circ\mathrm{C}.

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