₹ Questão 05: O Cobalto 27{ }^{60} \mathrm{Co}, com um período de meia-vida de aproximadamente 5 anos. Supondo que uma bomba de cobalto foi acidentalmente detonada e o material radioativo
exposto à população local. Após 30 anos, qual a porcentagem deste elemento ainda está ativa? Adita um decaimento de 1^{\circ} ordem.

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo de primeira ordem do isótopo \mathrm{^{60}Co}, cuja meia-vida é de aproximadamente 5 anos. Queremos saber que fração (ou porcentagem) da atividade original permanece após 30 anos.

Passo 2

Em um processo de decaimento de primeira ordem, a atividade A(t) no tempo t relaciona-se com a atividade inicial A_0 por
A(t) = A_0 \, e^{-k\,t},
onde k é a constante de decaimento. A meia-vida t_{1/2} está ligada a k por
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.

Passo 3

Substituindo t_{1/2}=5 anos em
k = \frac{\ln 2}{5\\ \text{anos}} \approx \frac{0,6931}{5} \approx 0,1386\\ \text{ano}^{-1}.

Passo 4

A fração remanescente após t=30 anos é
\frac{A(30)}{A_0} = e^{-k\cdot 30} = e^{-0,1386 \times 30} = e^{-4,158} \approx 0,015625.
Isso também pode ser visto como
e^{-k\cdot30} =2^{-\frac{30}{5}} =2^{-6} =\frac{1}{64} \approx0,015625.

Passo 5

Para converter em porcentagem, multiplicamos por 100\%:
0,015625 \times 100\% = 1,5625\%.

Resposta

Aproximadamente 1{,}56\% do material ainda está ativo após 30 anos.

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