Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
4^{\log _{2} 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \,4^{\log_{2} 3}.
Informações dadas (exatamente o que aparece no enunciado):
  • A expressão a ser avaliada é \,4^{\log_{2} 3}.
  • A notação \log_{2} 3 significa "o expoente ao qual 2 deve ser elevado para obter 3", isto é, 2^{\log_{2} 3}=3.

Passo 2

Relembrando duas propriedades básicas que vamos usar (com explicações simples):
  • Definição fundamental do logaritmo: \,b^{\log_{b} x}=x para b>0, b\neq1 e x>0. Isso vem direto da definição: \log_{b} x é o número que, quando usado como expoente de b, dá x. Exemplo: 2^{\log_{2} 3}=3.
  • Propriedade de potências de potências: \,(a^{m})^{n}=a^{mn}. Exemplo: \,(2^{3})^{4}=2^{3\cdot4}=2^{12}.

Passo 3

Vou reescrever a base 4 em termos da base 2, porque o logaritmo é em base 2. Observe que \,4=2^{2}. Então:
4^{\log_{2} 3}=(2^{2})^{\log_{2} 3}.

Passo 4

Aplicando a propriedade de potências de potências (a^{m})^{n}=a^{mn} ao lado direito, obtemos:
(2^{2})^{\log_{2} 3}=2^{2\log_{2} 3}.

Passo 5

Usamos agora a propriedade do logaritmo que diz \,\log_{b}(x^{k})=k\log_{b} x. Isso pode ser lido ao contrário: k\log_{b} x=\log_{b}(x^{k}). Assim:
2\log_{2} 3=\log_{2}(3^{2}).
Substituindo na potência:
2^{2\log_{2} 3}=2^{\log_{2}(3^{2})}.

Passo 6

Agora aplicamos a definição fundamental do logaritmo \,b^{\log_{b}(\cdot)}=(\cdot). Logo:
2^{\log_{2}(3^{2})}=3^{2}.
E calculando 3^{2} fica:
3^{2}=9.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (pra carregar pra prova): reescreve 4 como 2^{2}, junta expoentes, transforma 2\log_{2}3 em \log_{2}(3^{2}) e cancela 2^{\log_{2}(\cdot)} usando a definição do logaritmo. Simples e direto — sem precisar conhecer valores numéricos aproximados de \log_{2}3.

Resposta

9

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