Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão a ser calculada e pede o valor numérico:
Informações fornecidas:
- A base da potência é
. - O expoente é
, ou seja, um número formado por menos o logaritmo de na base .
O que se pede:
- Calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Relembrando definições e propriedades fundamentais (mini-aula rápida e prática).
- Definição:
é o número tal que . Ou seja, .
Exemplo concreto:porque . - Propriedades importantes que usaremos:
- Produto de potências com mesma base:
. - Potência negativa:
. - Identidade logaritmo-potência:
. Isto vem direto da definição: se então . - Diferença de logaritmos:
(apenas para reforço; usaremos se quiser uma abordagem alternativa).
- Produto de potências com mesma base:
Cada símbolo:
-
é a base (aqui ). -
são expoentes genéricos. -
são números positivos aos quais se aplicam logaritmo.
Passo 3
Aplicar a propriedade de potências para separar o expoente:
usando
(ou vista como
).
Calcule a parte fácil:
Passo 4
Avaliar a parte
usando a identidade logaritmo-potência.
Primeiro, pela definição, . Então
Primeiro, pela definição,
usando
.
Passo 5
Multiplicar as duas partes que encontramos:
Passo 6
Simplificar a fração
dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Método alternativo (curto) — para fixar a ideia:
Usando diferença de logaritmos, o expoente pode ser escrito como
Usando diferença de logaritmos, o expoente pode ser escrito como
Então
pela identidade
.