Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
3^{2-\log _{3} 6}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão a ser calculada e pede o valor numérico:
3^{2-\log_{3}6}.
Informações fornecidas:
  • A base da potência é \,3.
  • O expoente é 2-\log_{3}6, ou seja, um número formado por 2 menos o logaritmo de 6 na base 3.
O que se pede:
  • Calcular o valor numérico de \,3^{2-\log_{3}6}.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades fundamentais (mini-aula rápida e prática).
  • Definição: \log_{a}b é o número y tal que a^{y}=b. Ou seja, \log_{a}b=y \iff a^{y}=b.
    Exemplo concreto: \log_{2}8=3 porque 2^{3}=8.
  • Propriedades importantes que usaremos:
    1. Produto de potências com mesma base: \,a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}.
    2. Potência negativa: \,a^{-x}=\dfrac{1}{a^{x}}.
    3. Identidade logaritmo-potência: \,a^{\log_{a}b}=b. Isto vem direto da definição: se \log_{a}b=y então a^{y}=b.
    4. Diferença de logaritmos: \,\log_{a}u-\log_{a}v=\log_{a}\!\left(\dfrac{u}{v}\right) (apenas para reforço; usaremos se quiser uma abordagem alternativa).
Cada símbolo:
  • a é a base (aqui a=3).
  • x,y são expoentes genéricos.
  • b,u,v são números positivos aos quais se aplicam logaritmo.

Passo 3

Aplicar a propriedade de potências para separar o expoente:
3^{2-\log_{3}6}=3^{2}\cdot 3^{-\log_{3}6},
usando \,a^{x-y}=a^{x}\cdot a^{-y} (ou vista como \,a^{x-y}=\dfrac{a^{x}}{a^{y}}).
Calcule a parte fácil:
3^{2}=9.

Passo 4

Avaliar a parte 3^{-\log_{3}6} usando a identidade logaritmo-potência.
Primeiro, pela definição, \,3^{\log_{3}6}=6. Então
3^{-\log_{3}6}=\bigl(3^{\log_{3}6}\bigr)^{-1}=6^{-1}=\frac{1}{6},
usando \,a^{-1}=\dfrac{1}{a}.

Passo 5

Multiplicar as duas partes que encontramos:
3^{2-\log_{3}6}=3^{2}\cdot 3^{-\log_{3}6}=9\cdot\frac{1}{6}=\frac{9}{6}.

Passo 6

Simplificar a fração \dfrac{9}{6} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{9}{6}=\frac{9\div 3}{6\div 3}=\frac{3}{2}.

Passo 7

Método alternativo (curto) — para fixar a ideia:
Usando diferença de logaritmos, o expoente pode ser escrito como
2-\log_{3}6=\log_{3}9-\log_{3}6=\log_{3}\!\left(\frac{9}{6}\right)=\log_{3}\!\left(\frac{3}{2}\right).
Então
3^{2-\log_{3}6}=3^{\log_{3}\!\left(\frac{3}{2}\right)}=\frac{3}{2},
pela identidade a^{\log_{a}(\cdot)}=(\cdot).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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