Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
8^{\log _{4} 5}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o valor da expressão \;8^{\log_{4}5}\;.
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
  • A base da potência é \;8.
  • O expoente é o logaritmo \;\log_{4}5, ou seja, o logaritmo de 5 na base 4.
    A pergunta é: qual é o valor numérico de \;8^{\log_{4}5}\;?

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as propriedades que vamos usar (aqui é a mini-aula rápida, sem pular etapas):
  1. Definição de logaritmo: \log_{b}a = c significa que \;b^{c}=a. Exemplo simples: \log_{10}1000=3 porque 10^{3}=1000.
  2. Mudança de base (útil para transformar logaritmos entre bases):
\log_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b},
onde \ln é o logaritmo natural. Exemplo: \log_{4}5=\dfrac{\ln 5}{\ln 4}.
  1. Regra do expoente de potência (associar expoentes):
(x^{r})^{s}=x^{r\cdot s}.
Exemplo: (2^{3})^{4}=2^{12}.
  1. Propriedade do logaritmo em relação a mudança de base em potências inteiras: se escrevermos \log_{b} a numa base que facilite cálculos, podemos converter expoentes usando a regra anterior. Exemplo útil que será usado: se 8=2^{3} e 4=2^{2}, é conveniente reescrever tudo em potências de 2.

Passo 3

Reescrevo as bases 8 e 4 como potências de 2 (isso costuma simplificar logaritmos quando as bases são potências umas das outras):
8=2^{3},\qquad 4=2^{2}.

Passo 4

Expresso \log_{4}5 em termos de logaritmo na base 2. Usando mudança de base com \ln ou diretamente com log na base 2:
\log_{4}5=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}.
Como \log_{2}4=\log_{2}(2^{2})=2, segue
\log_{4}5=\frac{\log_{2}5}{2}=\tfrac{1}{2}\log_{2}5.

Passo 5

Agora uso a reescrita da base e a expressão do expoente para simplificar \;8^{\log_{4}5}:
8^{\log_{4}5}=(2^{3})^{\log_{4}5}.
Pela regra (x^{r})^{s}=x^{r s},
(2^{3})^{\log_{4}5}=2^{3\cdot\log_{4}5}.
Substituindo \log_{4}5=\tfrac{1}{2}\log_{2}5 (do passo anterior),
2^{3\cdot\log_{4}5}=2^{3\cdot\frac{1}{2}\log_{2}5}=2^{\frac{3}{2}\log_{2}5}.

Passo 6

Use a propriedade a^{\log_{a}X}=X. Aqui podemos reescrever 2^{\frac{3}{2}\log_{2}5} como (2^{\log_{2}5})^{3/2}. Primeiro observe:
2^{\frac{3}{2}\log_{2}5}=\bigl(2^{\log_{2}5}\bigr)^{\frac{3}{2}}.
Como 2^{\log_{2}5}=5, temos
\bigl(2^{\log_{2}5}\bigr)^{\frac{3}{2}}=5^{\frac{3}{2}}.

Passo 7

Simplifico 5^{\frac{3}{2}} para uma forma mais familiar: 5^{\frac{3}{2}}=(5^{1})\cdot(5^{1/2})=5\sqrt{5}. Alternativamente 5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^{3}}=\sqrt{125}.

Resposta

5\sqrt{5}

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