Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o valor da expressão
.
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
- A base da potência é
. - O expoente é o logaritmo
, ou seja, o logaritmo de na base .
A pergunta é: qual é o valor numérico de?
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as propriedades que vamos usar (aqui é a mini-aula rápida, sem pular etapas):
-
Definição de logaritmo:
significa que . Exemplo simples: porque . -
Mudança de base (útil para transformar logaritmos entre bases):
onde
é o logaritmo natural. Exemplo:
.
- Regra do expoente de potência (associar expoentes):
Exemplo:
.
- Propriedade do logaritmo em relação a mudança de base em potências inteiras: se escrevermos
numa base que facilite cálculos, podemos converter expoentes usando a regra anterior. Exemplo útil que será usado: se e , é conveniente reescrever tudo em potências de .
Passo 3
Reescrevo as bases
e
como potências de
(isso costuma simplificar logaritmos quando as bases são potências umas das outras):
Passo 4
Expresso
em termos de logaritmo na base
. Usando mudança de base com
ou diretamente com log na base
:
Como
, segue
Passo 5
Agora uso a reescrita da base e a expressão do expoente para simplificar
:
Pela regra
,
Substituindo
(do passo anterior),
Passo 6
Use a propriedade
. Aqui podemos reescrever
como
. Primeiro observe:
Como
, temos
Passo 7
Simplifico
para uma forma mais familiar:
. Alternativamente
.