Questão 05 Para k >= 2 calcule A^k para:
A=(lllambda & 1 0 & lambda).

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^k para k>=2, onde
A=lambda & 1[6pt]0 & lambda
Esse é um bloco de Jordan de dimensão 2 com autovalor lambda. Vamos usar a decomposição em parte diagonal mais parte nilpotente e a fórmula binomial para potências de matrizes que comutam.]

Passo 2

Escrevemos
A = lambda I + N,
onde
N = 0 & 1[3pt]0 & 0, I = 1 & 0[3pt]0 & 1
Note que N^2=0, pois
N^2 = 0 & 10 & 0 0 & 10 & 0 =0 & 00 & 0 ]

Passo 3

Como lambda I e N comutam, aplicamos a fórmula de binômio de Newton para matrizes:
A^k = (lambda I + N)^k = sumi=0^kbinomki(lambda I)^,k-iN^i

Passo 4

Como N^i=0 para i>=2, só restam os termos i=0 e i=1:
A^k = (lambda I)^k + binomk1(lambda I)^,k-1N = lambda^k I + k,lambda^,k-1N
Substituindo N e I de volta, obtemos
A^k = lambda^k1 & 0[3pt]0 & 1 + k,lambda^,k-1 0 & 1[3pt]0 & 0 =lambda^k & k,lambda^,k-1[6pt]0 & lambda^k ]

Resposta

A^k = lambda^k & k,lambda^,k-1[6pt]0 & lambda^k ]

Exercícios relacionados